Pembahasan Limit UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x\sqrt{x} - p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} = .... $
A). $ p\sqrt{p} \, $ B). $ 3p \, $ C). $ p \, $ D). $ 3\sqrt{p} \, $ E). $ \sqrt{p} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan limit pada turunan (Dalil L'Hopital):
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ , memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turnan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = n . x^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} y & = x\sqrt{x} = x^1 . x^\frac{1}{2} = x^\frac{3}{2} \\ y^\prime & = \frac{3}{2}x^\frac{1}{2} \\ u & = \sqrt{x} \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x\sqrt{x} - p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} & = \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x^{\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x^{1} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x \\ & = 3p \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3p . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar