Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ agar fungsi $ f(x) = x\sqrt{x^2+4} $ naik adalah ....
A). $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \, $
B). $ -2 < x < 2 \, $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $
D). $ x < -\sqrt{2} \, $ atau $ x > \sqrt{2} $
E). $ -\infty < x < \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan fungsi :
1). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $
2). $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = x\sqrt{x^2+4} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{x^2+4} \rightarrow V^\prime = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1. \sqrt{x^2+4} + x.\frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \\ & = \frac{ \sqrt{x^2+4} \times \sqrt{x^2+4} }{ \sqrt{x^2+4}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}} \\ & = \frac{ x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{ 2x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} \end{align} $
*). Perhatikan hasil turunannya, bentuk $ 2x^2 + 4 $ selalu positif, begitu juga untuk penyebutnya $ \sqrt{x^2+4} $, sehingga $ f^\prime (x) = \frac{ 2x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} $ selalu positif untuk semua $ x $, artinya $ f^\prime (x) > 0 $ terpenuhi untuk semua $ x $, hal ini mengakibatkan $ f(x) $ adalah fungsi naik untuk semua $ x $ atau dapat kita tulis intervalnya $ -\infty < x < \infty $ atau $ x \in R $ .
Jadi, fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ -\infty < x < \infty . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar