dunia informa: matdas um ugm 2008

Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2008. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Program Linear 2 UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Nilai minimum dari $ z = 6x + 9y $ yang memenuhi syarat $ 4x + y \geq 20 $ , $ x + y \leq 20 $ , $ x + y \geq 10 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ adalah ....
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 80 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai optimum pada program linear, bisa menggunakan metode uji titik pojok yang langkah-langkahnya :
1). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP),
2). Tentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, lalu pilih sesuai permintaan soal ( jika minimum maka pilih yang terkecil dan jika maksimum maka pilih yang terbesar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ 4x + y \geq 20 \rightarrow (0,20) , \, (5,0) $
Garis II : $ x + y \leq 20 \rightarrow (0,20), \, (20,0) $
Garis III : $ x + y \geq 10 \rightarrow (0,10) , \, (10,0) $

*). Menentukan titik pojok A, B, C dan D :
Titik $ A(10,0) , B(20,0), C(0,20) $
-). Titik D, Eliminasi persI dan pers III :
$ \begin{array}{cc} 4x + y = 20 & \\ x + y = 10 & - \\ \hline 3x = 10 & \\ x = \frac{10}{3} & \end{array} $
Pers(III): $ x + y = 10 \rightarrow \frac{10}{3} + y = 10 \rightarrow y = \frac{20}{3} $
Sehingga titik $ D \left( \frac{10}{3} , \frac{20}{3} \right) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 6x + 9y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 6.10 + 9.0 = 60 \\ B \rightarrow z & = 6.20 + 9.0 = 120 \\ C \rightarrow z & = 6.0 + 9.20 = 180 \\ D \rightarrow z & = 6.\frac{10}{3} + 9.\frac{20}{3} = 80 \end{align} $.
Jadi, nilai minimumnya adalah $ 60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ S_n $ adalah jumlah $ n $ suku suatu deret geometri yang rasionya $ r $ , maka $ \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} = .... $
A). $ r^{2n} $
B). $ \frac{1}{2}(r^{2n} - 1) $
C). $ \frac{1}{2} + r^{2n} $
D). $ \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) $
E). $ r^{2n} + 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n $ suku pertama deret geometri ($S_n$) :
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ S_{4n} $ dan $ S_{2n} $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \\ S_{4n} & = \frac{a(r^{4n} - 1)}{r-1} \\ S_{2n} & = \frac{a(r^{2n} - 1)}{r-1} \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} & = \frac{\frac{a(r^{4n} - 1)}{r-1}}{2.\frac{a(r^{2n} - 1)}{r-1}} \\ & = \frac{(r^{4n} - 1)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{((r^{2n})^2 - 1^2)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{(r^{2n} - 1)(r^{2n} + 1)}{2(r^{2n} - 1)} \\ & = \frac{(r^{2n} + 1)}{2} = \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} = \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Fungsi UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ y = 3 \sin 2x - 2 \cos 3x $ , maka $ \frac{dy}{dx} = .... $
A). $ 6 \cos 2x + 6 \sin 3x \, $
B). $ -6 \cos 2x - 6 \sin 3x \, $
C). $ 6 \cos 2x - 6 \sin 3x \, $
D). $ 3 \cos 2x + 2 \sin 3x \, $
E). $ 3 \cos 2x - 2 \sin 3x \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = - f^\prime (x) \sin f(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} y & = 3 \sin 2x - 2 \cos 3x \\ \frac{dy}{dx} & = y^\prime = 3. 2 \cos 2x - 2. 3.(- \sin 3x) \\ & = 6 \cos 2x + 6 \sin 3x \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \frac{dy}{dx} = 6 \cos 2x + 6 \sin 3x . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Suatu deret aritmetika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya 240. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -7 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n $ suku pertama deret aritmetika ($S_n$):
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan suku pertama dengan $ b = 2 $ dan $ S_{20} = 240 $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_{20} & = 240 \\ \frac{20}{2}(2a + (20-1).2) & = 240 \\ 10.(2a + 19.2) & = 240 \\ 2a + 38 & = 24 \\ 2a & = -14 \\ a & = -7 \end{align} $
*). Menentukan $ S_7 $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_7 & = \frac{7}{2}(2.(-7) + (7-1).2) \\ & = \frac{7}{2}(-14 + 12) \\ & = \frac{7}{2}(-2) = -7 \end{align} $
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah $ -7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Eksponen UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Bila $ \frac{4}{5} (2^{3x-1}) + \frac{8^x}{10} = 2 $ , maka $ x = .... $
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{4}{5} (2^{3x-1}) + \frac{8^x}{10} & = 2 \\ \frac{4}{5} \left( \frac{2^{3x}}{2^1} \right) + \frac{(2^3)^x}{10} & = 2 \\ \frac{4}{10} \left( 2^{3x} \right) + \frac{2^{3x}}{10} & = 2 \\ \frac{4}{10} \left( 2^{3x} \right) + \frac{1}{10} (2^{3x}) & = 2 \\ \left( \frac{4}{10} + \frac{1}{10}\right) . 2^{3x} & = 2 \\ \frac{5}{10} . 2^{3x} & = 2 \\ \frac{1}{2} . 2^{3x} & = 2 \\ 2^{3x} & = 4 \\ 2^{3x} & = 2^2 \\ 3x & = 2 \\ x & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Nilai semua $ x $ yang memenuhi $ {}^a \log ^2 x \geq 8 + 2 {}^a \log x $ , dengan bilangan $ a > 1 $ , adalah ....
A). $ a^2 \leq x \leq a^4 \, $
B). $ x \leq a^2 \, $ atau $ x \geq a^4 $
C). $ x \leq \frac{1}{a^4} \, $ atau $ x \geq a^2 $
D). $ x \leq \frac{1}{a^2} \, $ atau $ x \geq a^4 $
E). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya ($+$ atau $ - $)
3). Tentukan daerah penyelesaian :
Jika $ > 0 $ , maka arsir positif
Jika $ < 0 $ , maka arsir negatif
4). Buat himpunan penyelesaian sesuai daerah arsiran.
*). Definisi logaritma
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
Syaratnya : $ a > 0 , a \neq 1 , b > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ = {}^a \log x $ :
$\begin{align} {}^a \log ^2 x & \geq 8 + 2 {}^a \log x \\ ({}^a \log x )^2 & \geq 8 + 2 {}^a \log x \\ (p)^2 & \geq 8 + 2 p \\ p^2 - 2p - 8 & \geq 0 \\ (p+2)(p-4) & \geq 0 \\ p = -2 \vee p & = 4 \\ p=-2 \rightarrow {}^a \log x & = -2 \rightarrow x = a^{-2} = \frac{1}{a^2} \\ p=4 \rightarrow {}^a \log x & = 4 \rightarrow x = a^4 \end{align} $
Garis bilangannya :

Sehingga $ HP_1 = \{ x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} $
*). Dari $ {}^a \log x \, $ maka syaratnya $ x > 0 $ .
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap \{ x > 0 \} \\ HP & = \{ x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} \cap \{ x > 0 \} \\ & = \{ 0 < x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban yang tepat di optionnya)

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui sistem persamaan linear
$ \begin{align} & 3x - 5y = m \\ & 2x + 4y = n \end{align} $
Jika $ y = \frac{b}{22} $ , maka $ b = .... $
A). $ 2m - 3n \, $
B). $ 2m + 3n \, $
C). $ -3m + 2n \, $
D). $ 3m + 2n $
E). $ -2m + 3n \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan teknik eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x - 5y = m & \times 2 & 6x - 10 y = 2m & \\ 2x + 4y = n & \times 3 & 6x + 12 y = 3n & - \\ \hline & & -22y = 2m - 3n & \\ & & 22y = -2m + 3n & \end{array} $
Kita peroleh persamaan $ 22y = -2m + 3n \, $ ....(iii)
*). Substitusi $ y = \frac{b}{22} \, $ ke pers(iii) :
$\begin{align} 22y & = -2m + 3n \\ 22 \times \frac{b}{22} & = -2m + 3n \\ b & = -2m + 3n \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ b = -2m + 3n . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Tetangga baru yang belum anda kenal katanya mempunyai 2 anak. Anda tahu salah satunya adalah laki-laki. Peluang kedua anak tetangga baru anda semuanya laki-laki adalah ....
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{2}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang kejadian A :
$ \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ banyak semua kejadian yang mungkin.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ n(S) $ :
Salah satu anaknya laki-laki sehingga semua kemungkinan anaknya yaitu $ S=\{ LL, PL, LP \} $, artinya nilai $ n(S) = 3 $.
*). Menentukan nilai $ n(A) $ :
A = kejadian kedua anak laki-laki
$ A = \{ LL \} $, sehingga $ n(A) = 1 $
*). Menentukan peluang kejadian A :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, peluang semua laki-laki adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri dari 15 siswa, 10 siswa, dan 25 siswa. Rata-rata nilai gabungan dari ketiga kelas adalah 58,6. Jika rata-rata nilai kelas A dan C berturut-turut 62 dan 60, maka rata-rata nilai kelas B adalah ....
A). $ 50 \, $ B). $ 56 \, $ C). $ 61 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 65 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \overline{X}_{gb} = \frac{n_A.\overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B+n_C.\overline{X}_C}{n_A+n_B+n_C} $
Keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan,
$ \overline{X}_{A} = \, $ rata-rata kelas A,
$ n_A = \, $ banyak siswa kelas A,
dan seterusnya untuk simbol lainnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ n_A = 15, n_B=10, n_C = 25 $
$ \overline{X}_{gb} = 58,6 ; \overline{X}_A = 62, \overline{X}_C = 60 , \overline{X}_B = x $
*). Menentukan nilai $ x $ atau rata-rata kelas B :
$\begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{X}_A + n_B.\overline{X}_B+n_C.\overline{X}_C}{n_A+n_B+n_C} \\ 58,6 & = \frac{15.62+10x+25.60}{15+10+25} \\ 58,6 & = \frac{930+10x+1500}{50} \\ 58,6 \times 50 & = 2430 + 10x \\ 2930 & = 2430 + 10x \\ 10x & = 500 \\ x & = 50 \end{align} $
Jadi, rata-rata kelas B adalah $ 50 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

$ \frac{(\sqrt[6]{x^2})(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}} = .... $
A). $ x\sqrt{x+1} \, $ B). $ x \, $ C). $1 \, $
D). $ \frac{1}{\sqrt[6]{x^2}} \, $ E). $ \frac{x}{\sqrt{x+1}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat bentuk akar pada eksponen :
1). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
2). $ (a.b)^n = a^n . b^n $
3). $ \sqrt[n]{a^m} = a^ \frac{m}{n} $
4). $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{(\sqrt[6]{x^2})(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}} & = \frac{x^\frac{2}{6} \left( x^2. (x+1)^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{3}}{x. (x+1)^\frac{1}{6}} \\ & = \frac{x^\frac{1}{3} ( x^2)^\frac{1}{3} . \left((x+1)^\frac{1}{2} \right)^\frac{1}{3}}{x. (x+1)^\frac{1}{6}} \\ & = \frac{x^\frac{1}{3} x^\frac{2}{3} . (x+1)^\frac{1}{6} }{x. (x+1)^\frac{1}{6}} \\ & = \frac{x^\frac{1}{3} x^\frac{2}{3} }{x} \\ & = \frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} } }{x} \\ & = \frac{x^{1} }{x} = \frac{x}{x} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{(\sqrt[6]{x^2})(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Logaritma UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \left( \begin{matrix} {}^3 \log y & {}^4 \log z \\ {}^x \log y & -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ {}^{16} \log z & -2 \end{matrix} \right) \, $ adalah ....
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 81 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kesamaan dua matriks : Unsur yang seletak nilainya sama
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{{a}^m } \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ \left( \begin{matrix} {}^3 \log y & {}^4 \log z \\ {}^x \log y & -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ {}^{16} \log z & -2 \end{matrix} \right) \, $
Dari persamaan di atas, Kita peroleh :
$\begin{align} {}^3 \log y & = 2 \rightarrow y = 3^2 = 9 \\ {}^4 \log z & = 1 \rightarrow z = 4^1 = 4 \\ {}^x \log y & = {}^{16} \log z \\ {}^x \log 9 & = {}^{16} \log 4 \\ {}^x \log 9 & = {}^{{4}^2} \log 4^1 \\ {}^x \log 9 & = \frac{1}{2} \times {}^{4} \log 4 \\ {}^x \log 9 & = \frac{1}{2} \\ x^\frac{1}{2} & = 9 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (x^\frac{1}{2})^2 & = 9^2 \\ x & = 81 \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 81 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Garis UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika dua garis yang memenuhi persamaan matriks $ \left( \begin{matrix} a & 2 \\ 1 & b \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 16 \\ -18 \end{matrix} \right) \, $ sejajar, maka nilai dari $ ab = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua garis sejajar memiliki gradien yang sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan kedua persamaan garis dengan mengalikan matriksnya :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} a & 2 \\ 1 & b \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 16 \\ -18 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} ax + 2y \\ x + by \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 16 \\ -18 \end{matrix} \right) \\ \text{garis I : } ax + 2y & = 16 \rightarrow m_1 = \frac{-a}{2} \\ \text{garis II : } x + by & = -18 \rightarrow m_2 = \frac{-1}{b} \end{align} $
*). Kedua garis sejajar, sehingga gradien sama :
$\begin{align} m_1 & = m_2 \\ \frac{-a}{2} & = \frac{-1}{b} \\ ab & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Menyusun Garis UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 6x-10y - 7 = 0 $ dan $ 3x + 4y - 8 = 0 $ dan tegak lurus dengan garis ke-2 adalah ....
A). $ 3y - 4x + 13 = 0 \, $
B). $ 3y - 4x + \frac{13}{2} = 0 \, $
C). $ 3y + 4x - 13 = 0 \, $
D). $ 3y + 4x - \frac{13}{2} = 0 \, $
E). $ 3y - 4x + 10 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus (PGL) melalui titik $ (x_1,y_1) $ dan gradien $ m $ :
$ \, \, \, \, \, y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $
*). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 6x - 1oy - 7 = 0 & \times 1 & 6x - 1oy - 7 = 0 & \\ 3x + 4y - 8 = 0 & \times 2 & 6x + 8y - 16 = 0 & - \\ \hline & & -18y + 9 = 0 & \\ & & y = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(ii): $ 3x + 4y - 8 = 0 \rightarrow 3x + 4 \times \frac{1}{2} - 8 = 0 \rightarrow x = 2 $
Sehingga titiknya $ (x_1,y_1) = (2, \frac{1}{2}) $.
*). Gradien garis kedua :
$ 3x + 4y - 8 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-3}{4} $
*). Menentukan gradien garis yang mau kita cari persamaannya :
$ m_1.m = -1 \rightarrow \frac{-3}{4} . m = -1 \rightarrow m = \frac{4}{3} $.
*). PGL melalui titik $ (x_1,y_1) = (2, \frac{1}{2}) $ dan gradien $ m = \frac{4}{3} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{1}{2} & = \frac{4}{3}(x - 2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - \frac{3}{2} & = 4(x - 2) \\ 3y - \frac{3}{2} & = 4x - 8 \\ 3y -4x - \frac{3}{2} + 8 & = 0 \\ 3y -4x + \frac{13}{2} & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya $ 3y -4x + \frac{13}{2} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Garis UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Agar ketiga garis $ 3x + 2y + 4 = 0 $ , $ x - 3y + 5 = 0 $ dan $ 2x + (m+1)y - 1 = 0 $ berpotongan di satu titik maka nilai $ m $ haruslah .....
A). $ -3 \, $ B). $ 2\, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan titik potong beberapa garis, cukup menggunakan teknik eliminasi dan substitusi.
*). Tiga garis berpotongan di tiga titik, maka titik potong tersebut memenuhi ketiga persamaan garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x+2y+4 = 0 & \times 1 & 3x + 2y + 4 = 0 & \\ x-3y+5 = 0 & \times 3 & 3x - 9y + 15 = 0 & - \\ \hline & & 11y - 11 = 0 & \\ & & y = 1 & \end{array} $
Pers(ii): $ x - 3y + 5 = 0 \rightarrow x - 3.1 + 5 = 0 \rightarrow x = -2 $
Sehingga solusinya $ (x,y) = (-2, 1) $.
*). Substitusi $ (x,y) = (-2, 1) $ ke pers(iii) :
$\begin{align} (x,y) = (-2, 1) \rightarrow 2x + (m+1)y - 1 & = 0 \\ 2. (-2) + (m+1).1 - 1 & = 0 \\ -4 + m+1 - 1 & = 0 \\ m & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Agar fungsi $ f(x,y) = ax + 4y $ dengan kendala $ x + y \geq 12 $ , $ x + 2y \geq 16 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ mencapai minimum hanya di titik $(8,4) $, maka nilai konstanta $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2 < a < 4 \, $
B). $ 4 < a < 6 \, $
C). $ 4 < a < 8 \, $
D). $ -4 < a < -2 \, $
E). $ -8 < a < -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif (tujuan) terletak hanya di titik perpotongan kedua kendala, maka gradien fungsi objektif ada diantara gradien kedua kendalanya. Bisa ditulis :
$ \, \, \, \, \, m_1 < m_{obj} < m_2 $.
Keterangan :
$ m_1 = \, $ gradien kendala 1,
$ m_2 = \, $ gradien kendala 2,
$ m_{obj} = \, $ gradien fungsi objektif.
*). Graadien dari bentuk $ ax + by $ adalah $ m = - \frac{a}{b} $.
*). Untuk lebih jelasnya tentang teori metode gradien ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "program linear : Nilai optimum dengan metode gradien".
*). Sifat pertidaksamaan :
i). Kali negatif, tanda ketaksamaan dibalik.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan gradien :
$ \begin{align} f(x,y) & = ax + 4y \rightarrow m_{obj} = \frac{-a}{4} \\ x + y & \geq 12 \rightarrow m_1 = -1 \\ x + 2y & \geq 16 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} m_1 < & \, m_{obj} < m_2 \\ -1 < & \, \frac{-a}{4} < -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali -4, ketaksamaan dibalik)} \\ 4 > & \, a > 2 \end{align} $
atau dapat ditulis $ 2 < a < 4 $.
Jadi, interval $ a $ adalah $ 2 < a < 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x\sqrt{x} - p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} = .... $
A). $ p\sqrt{p} \, $ B). $ 3p \, $ C). $ p \, $ D). $ 3\sqrt{p} \, $ E). $ \sqrt{p} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan limit pada turunan (Dalil L'Hopital):
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ , memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turnan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = n . x^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} y & = x\sqrt{x} = x^1 . x^\frac{1}{2} = x^\frac{3}{2} \\ y^\prime & = \frac{3}{2}x^\frac{1}{2} \\ u & = \sqrt{x} \rightarrow u^\prime = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x\sqrt{x} - p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} & = \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x^{\frac{1}{2} - (\frac{1}{2})} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x^{1} \\ & = \displaystyle \, \lim_{x \to p} 3 x \\ & = 3p \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3p . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika garis $ g $ melalui titik $ P(-2,1) $ dan memotong parabola $ y = x^2 - 4x + 3 $ di titik $ Q(x,y) $ dan $ R(4,3) $ , maka $ y - 5x = .... $
A). $-\frac{1}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{9} \, $ C). $\frac{1}{9} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{2}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus melalui dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Untuk menentukan titik potong dua kurva, bisa disubstitusikan salah satu persamaan ke persamaan yang lainnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis $ g $ melalui titik $ P(-2,1) $ dan memotong parabola di titik $ Q(x,y) $ dan $ R(4,3) $, artinya garis $ g $ melalui titik P dan R
*). Menyusun persamaan garis $ g $ melalui titik $ (x_1,y_1) = (-2,1) $ dan $ (x_2,y_2)=(4,3) $ :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-1}{3-1} & = \frac{x-(-2)}{4 - (-2)} \\ \frac{y-1}{2} & = \frac{x+2}{6} \\ \frac{y-1}{1} & = \frac{x+2}{3} \\ 3y - 3 & = x + 2 \\ 3y - x - 5 & = 0 \end{align} $
*). Substitusi persamaan parabola ke garis :
$\begin{align} 3y - x - 5 & = 0 \\ 3(x^2 - 4x + 3) - x - 5 & = 0 \\ 3x^2 - 13x + 4 & = 0 \\ (3x - 1)(x - 4) & = 0 \\ x = \frac{1}{3} \vee x & = 4 \end{align} $
Untuk $ x = 4 $ , berarti titik $ R(4,3) $
Untuk $ x = \frac{1}{3} $ , berarti titik $ Q $ :
*). Substitusi $ x = \frac{1}{3} $ ke garis untuk menentukan nilai $ y $ :
$\begin{align} 3y - x - 5 & = 0 \\ 3y - \frac{1}{3} - 5 & = 0 \\ 3y - \frac{16}{3} & = 0 \\ 3y & = \frac{16}{3} \\ y & = \frac{16}{9} \end{align} $
Sehingga titik $ Q(x,y) = \left( \frac{1}{3} , \frac{16}{9} \right) $
*). Menentukan nilai $ y - 5x $ :
$\begin{align} y - 5x & = \frac{16}{9} - 5. \frac{1}{3} = \frac{16}{9} - \frac{15}{9} = \frac{1}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ y - 5x = \frac{1}{9} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Jika kedua akar persamaan kuadrat $ x^2 - px + p = 0 $ bernilai positif, maka jumlah kuadrat akar-akar itu mempunyai ekstrem ....
A). minimum $ - 1 $
B). maksimum $ - 1 $
C). minimum $ 8 $
D). maksimum $ 8 $
E). minimum $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Jumlah kuadrat $ = x_1^2 + x_2^2 $
Penjabarannya : $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 $
-). Syarat akar-akar positif :
i). $ x_1+x_2 > 0 $
ii). $ x_1.x_2 > 0 $
iii). $ D \geq 0 \, $ , dengan $ D = b^2 - 4ac $
(ketiga syarat diiriskan hasilnya)
*). Syarat nilai maksimum atau minimum : turunan pertama $ = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - px + p = 0 $ dengan $ a = 1, b = -p, c = p $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p $
$ D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4.1.p = p^2 - 4p = p(p-4) $
*). Menentukan syarat nilai $ p $ agar akar-akarnya positif :
i). Syarat Pertama : $ x_1 + x_2 > 0 $
$\begin{align} x_1 + x_2 > 0 \rightarrow p > 0 \, \, \, \, \, \, (HP_1) \end{align} $
ii). Syarat Kedua : $ x_1 . x_2 > 0 $
$\begin{align} x_1 . x_2 > 0 \rightarrow p > 0 \, \, \, \, \, \, (HP_2) \end{align} $
iii). Syarat Ketiga : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D \geq 0 \rightarrow p(p-4) \geq 0 \rightarrow p = 0 \vee p = 4 \end{align} $
garis bilangannya :

Solusi syarat ketiga : $ HP_3 = p \leq 0 \vee p \geq 4 $
Sehingga solusi total syarat akar-akar positif :
$ HP = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 = \{ p \geq 4 \} $.
Artinya PK $ x^2 -px + p = 0 $ memiliki akar-akar positif untuk $ p \geq 4 $.
*). Bentuk jumlah kuadratnya : $ x_1^2 + x_2^2 $
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2.x_1x_2 = p^2 - 2p \end{align} $
*). Bentuk $ p^2 - 2p $ adalah fungsi kuadrat dengan $ a = 1 > 0 $ sehingga nilainya minimum pada saat :
$ f(p) = p^2 - 2p \rightarrow f^\prime (p) = 0 \rightarrow 2p - 2 = 0 \rightarrow p = 1 $.
Padahal syaratnya $ p \geq 4 $, maka agar $ p^2 - 2p $ minimum kita pilih nilai $ p $ yang mendekati 1 yaitu $ p = 4 $.
*). Mentukan nilai minimum $ x_1^2 + x_2^2 $ pada saat $ p = 4 $ :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = p^2 - 2p = 4^2 - 2.4 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai minimum jumlah kuadratnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Nilai dari $ \frac{\sin 48^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 78^\circ + \cos 42^\circ} \, $ adalah ....
A). $\frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \cos 18^\circ \, $ E). $ \tan 18^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Rumus Trigonometri
1). $ \sin A + \sin B = 2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right) . \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $
2). $ \cos A + \cos B = 2\cos \left( \frac{A+B}{2} \right) . \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya :
$\begin{align} \frac{\sin 48^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 78^\circ + \cos 42^\circ} & = \frac{2\sin \left( \frac{48^\circ+12^\circ}{2} \right) . \cos \left( \frac{48^\circ-12^\circ}{2} \right)}{2\cos \left( \frac{78^\circ+ 42^\circ}{2} \right) . \cos \left( \frac{78^\circ- 42^\circ}{2} \right)} \\ & = \frac{\sin \left( 30^\circ \right) . \cos \left( 18^\circ \right)}{\cos \left( 60^\circ \right) . \cos \left( 18^\circ \right)} \\ & = \frac{\sin \left( 30^\circ \right) }{\cos \left( 60^\circ \right) } = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin 48^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 78^\circ + \cos 42^\circ} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Semua nilai $ x $ agar fungsi $ f(x) = x\sqrt{x^2+4} $ naik adalah ....
A). $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \, $
B). $ -2 < x < 2 \, $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $
D). $ x < -\sqrt{2} \, $ atau $ x > \sqrt{2} $
E). $ -\infty < x < \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $
*). Turunan fungsi :
1). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $
2). $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = x\sqrt{x^2+4} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{x^2+4} \rightarrow V^\prime = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1. \sqrt{x^2+4} + x.\frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \\ & = \frac{ \sqrt{x^2+4} \times \sqrt{x^2+4} }{ \sqrt{x^2+4}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}} \\ & = \frac{ x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{ 2x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} \end{align} $
*). Perhatikan hasil turunannya, bentuk $ 2x^2 + 4 $ selalu positif, begitu juga untuk penyebutnya $ \sqrt{x^2+4} $, sehingga $ f^\prime (x) = \frac{ 2x^2 + 4}{ \sqrt{x^2+4}} $ selalu positif untuk semua $ x $, artinya $ f^\prime (x) > 0 $ terpenuhi untuk semua $ x $, hal ini mengakibatkan $ f(x) $ adalah fungsi naik untuk semua $ x $ atau dapat kita tulis intervalnya $ -\infty < x < \infty $ atau $ x \in R $ .
Jadi, fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ -\infty < x < \infty . \, \heartsuit $

Pages - Menu