Pembahasan Integral UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 $ dan garis $ y = (2m-1)x $ adalah $ 4\frac{1}{2} $ , maka $ m = .... $
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ atau $ -\frac{1}{2} $
B). $ 2 \, $ atau $ -1 $
C). $ 2\frac{1}{2} \, $ atau $ -1\frac{1}{2} $
D). $ 3 \, $ atau $ -2 $
E). $ 3\frac{1}{2} \, $ atau $ -2\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
gambar 1.
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

Garis $ y = (2m-1)x $ ada dua kemungkinan sehingga daerah yang terbentuk juga ada dua kemungkinan seperti gambar di atas.
*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = (2m-1)x \\ x^2 - (2m-1)x & = 0 \\ x[x-(2m-1)] & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2m - 1 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ 4\frac{1}{2} $ :
Luas daerah dari gambar (a) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \int \limits_{0}^{2m - 1} \, ( 2m-1)x - x^2 \, dx & = \frac{9}{2} \\ [\frac{1}{2}( 2m-1)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{2m - 1} & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{2}( 2m-1)(2m-1)^2 - \frac{1}{3}(2m-1)^3 & = \frac{9}{2} \\ \frac{1}{6}(2m-1)^3 & = \frac{9}{2} \\ (2m-1)^3 & = 27 \\ (2m-1) & = 3 \\ m & = 2 \end{align} $
Luas daerah dari gambar (b) :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4\frac{1}{2} \\ \int \limits_{2m - 1}^{0} \, ( 2m-1)x - x^2 \, dx & = \frac{9}{2} \\ [\frac{1}{2}( 2m-1)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{2m - 1}^{0} & = \frac{9}{2} \\ [0] -[\frac{1}{2}( 2m-1)(2m-1)^2 - \frac{1}{3}(2m-1)^3 ] & = \frac{9}{2} \\ -[\frac{1}{6}(2m-1)^3] & = \frac{9}{2} \\ (2m-1)^3 & = - 27 \\ (2m-1) & = -3 \\ m & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 2 $ atau $ m = -1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar