Cara 2 Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Trigonometri pada limit :
$ 1 - \cos A = \frac{1}{2}(A)^2 $
*). Rumus Trigonometri : $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ y = \frac{1}{x} $ maka $ x = \frac{1}{y} $ ,
Untuk $ x $ menuju $ \infty $ , maka $ y $ menuju $ 0 $.
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y} \right)^2 \left( \sec 2y - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1}{\cos 2y} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1 - \cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{\frac{1}{2}(2y)^2}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{2y^2}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) = \, \frac{2}{\cos 0} = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar