Pembahasan Kuadrat Geometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar dari $ x^2+2bx+32=0 $ adalah $ \alpha $ dan $ \beta $ semuanya positif dan $ \beta > \alpha $. Agar $ \alpha , \beta $ dan $ 4 \alpha $ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret geometri, maka $ b = .... $
A). $ -6 $ B). $ -4 $ C). $ 2 $ D). $ 4 $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $. Operasi akar-akarnya :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{c}{a} $.
*). Misalkan $ x , y , z $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama (rasio) :
$ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ x^2 + 2bx + 32 = 0 $, operasi akar-akarnya :
$ \alpha + \beta = -2b \, $ ....(i)
$ \alpha . \beta = 32 \, $ ....(ii)
*). $ \alpha , \beta , 4\alpha \, $ membentuk barisan geometri :
Sehingga perbadingannya sama,
$\begin{align} \beta ^2 & = 4\alpha . \alpha \\ \beta ^2 & = 4\alpha ^2 \\ \beta & = \pm \sqrt{4\alpha ^2 } \\ & = \pm 2\alpha \end{align} $
Karena $ \alpha , \beta $ positif, maka $ \beta = 2\alpha $ yang memenuhi.
*). Substitusi $ \beta = 2\alpha $ ke pers(ii) :
$\begin{align} \alpha . \beta & = 32 \\ \alpha . 2\alpha & = 32 \\ \alpha ^2 & = 16 \\ \alpha & = 4 \end{align} $
Sehingga $ \beta = 2\alpha = 2. 4 = 8 $
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(i) :
$\begin{align} \alpha + \beta & = -2b \\ 4 + 8 & = -2b \\ 12 & = -2b \\ b & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ b = -6 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar