Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }
x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit Trigonometri : $ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} = 1 $
*). Rumus trigonometri :
i). $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $
ii). $ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2}A . \sin \frac{1}{2} A $
Sehingga $ 1 - \cos 2y = 2\sin y . \sin y $
*). Sifat Limit Trigonometri : $ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} = 1 $
*). Rumus trigonometri :
i). $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $
ii). $ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2}A . \sin \frac{1}{2} A $
Sehingga $ 1 - \cos 2y = 2\sin y . \sin y $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ y = \frac{1}{x} $ maka $ x = \frac{1}{y} $ ,
Untuk $ x $ menuju $ \infty $ , maka $ y $ menuju $ 0 $.
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y} \right)^2 \left( \sec 2y - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1}{\cos 2y} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1 - \cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{2\sin y . \sin y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) \left( \frac{\sin y . \sin y}{y^2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) \left( \frac{\sin y}{y}. \frac{\sin y}{y} \right) \\ & = \, \left( \frac{2}{\cos 0} \right) \left( 1 .1 \right) \\ & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $
*). Misalkan $ y = \frac{1}{x} $ maka $ x = \frac{1}{y} $ ,
Untuk $ x $ menuju $ \infty $ , maka $ y $ menuju $ 0 $.
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y} \right)^2 \left( \sec 2y - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1}{\cos 2y} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1 - \cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{2\sin y . \sin y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) \left( \frac{\sin y . \sin y}{y^2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) \left( \frac{\sin y}{y}. \frac{\sin y}{y} \right) \\ & = \, \left( \frac{2}{\cos 0} \right) \left( 1 .1 \right) \\ & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $
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