Pembahasan Fungsi Naik UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan fungsi dengan rumus $ f(x) = x\sqrt{x+1} $, maka daerah dengan fungsi $ f $ naik adalah ....
A). $ -1 \leq x \leq -\frac{2}{3} \, $
B). $ x \leq -1 \, $
C). $ -1 \leq x < -\frac{2}{3} \, $
D). $ x > -\frac{2}{3} \, $
E). $ x > \frac{2}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $.
*). Turunan fungsi perkalian dan bentuk akar :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime. V + U . V ^\prime $
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{\sqrt{g(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan syarat fungsi naik :
$\begin{align} f(x) & = x\sqrt{x+1} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{x+1} \rightarrow V^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1. \sqrt{x+1} + x . \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \\ & = \frac{\sqrt{x+1} . 2\sqrt{x+1} }{2\sqrt{x+1}} + \frac{x}{2\sqrt{x+1}} \\ & = \frac{2(x+1) }{2\sqrt{x+1}} + \frac{x}{2\sqrt{x+1}} \\ f^\prime (x) & = \frac{3x + 2 }{2\sqrt{x+1}} \\ f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syaratnya)} \\ \frac{3x + 2 }{2\sqrt{x+1}} & > 0 \end{align} $
-). Akar-akar pecahannya :
Pembilang, $ 3x + 2 = 0 \rightarrow x = -\frac{2}{3} $
Penyebut, $ \sqrt{x+1} = 0 \rightarrow x = -1 $
-). Garis bilangannya :
 

HP1 = $ \{ x < -1 \vee x > -\frac{2}{3} \} $ .
*). Dari bentuk $ f^\prime (x) = \frac{3x + 2 }{2\sqrt{x+1}} $, syarat bentuk akar dan penyebutnya adalah :
$ \sqrt{x+1} > 0 \rightarrow \{ x > -1 \} \, $ .....(HP2)
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP 2 \\ & = \{ x < -1 \vee x > -\frac{2}{3} \} \cap \{ x > -1 \} \\ & = \{ x > -\frac{2}{3} \} \end{align} $
Jadi, fungsi naik pada interval $ \{ x > -\frac{2}{3} \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar