Cara 2 Pembahasan Maksimum UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah segitiga siku-siku kelilingnya $ 3\sqrt{2} $. Nilai minimum panjang sisi miringnya adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \, $
B). $ 7 - 3\sqrt{2} \, $
C). $ 7 - 4\sqrt{2} \, $
D). $ 6 - 3\sqrt{2} \, $
E). $ 6 - 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ y = A\cos f(x) + c $ memiliki nilai maksimum $ A + c $
*). Bentuk $ a \sin x + b \cos x = k \cos ( x - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
sehingga $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos (x - \theta ) $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $.
*). Untuk merasionalkan penyebut bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan bentuk sekawannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar segitiganya :
 

Dari gambar kita peroleh perbandingan trigonometrinya :
$ \sin x = \frac{a}{c} \rightarrow a = c\sin x $
$ \cos x = \frac{b}{c} \rightarrow b = c\cos x $
*). dari keliling segitiganya dan perbandingan trigonometri :
$ \begin{align} a + b + c & = 3\sqrt{2} \\ c\sin x + c\cos x + c & = 3\sqrt{2} \\ c(\sin x + \cos x + 1) & = 3\sqrt{2} \\ c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sin x + \cos x + 1} \\ c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} \end{align} $
*). Agar bentuk $ \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} $ minimum, maka penyebutnya harus maksimum. Bentuk $ \sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1 $ memiliki nilai maksimum yaitu $ \sqrt{2} + 1 $. Sehingga $ c $ minimum dengan nilai :
$ \begin{align} c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} \\ & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} \\ & = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{1} = 6 - 3\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai minimum sisi miringnya adalah $ 6 - 3\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar