Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2005 kode 612. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2005 kode 612. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $ dan $ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) \leq 4 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \, $
B). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
C). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \, $
D). $ \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
*). Bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat $ a > 0, a \neq 1, b> 0 $
artinya nilai $ b $ harus di atas nol.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x & = \pi \\ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) & \leq 4 \\ {}^2 \log ^2 (\sin \pi) - {}^2 \log (\sin ^3 \pi) & \leq 4 \\ {}^2 \log ^2 0 - {}^2 \log 0 & \leq 4 \\ \text{(SALAH, karena } & {}^2 \log 0 \, \text{ tidak terdefinisi)} \end{align}$
yang ada $x= \pi $ SALAH, opsi yang salah B dan D.
yang ada $x= 0 $ juga SALAH, opsi yang salah A.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x & = \frac{5\pi}{6} \\ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) & \leq 4 \\ {}^2 \log ^2 (\sin \frac{5\pi}{6}) - {}^2 \log (\sin ^3 \frac{5\pi}{6}) & \leq 4 \\ (-1)^2 - (-3) & \leq 4 \\ 4 & \leq 4 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= \frac{5\pi}{6} $ BENAR, opsi yang salah E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan TriLog UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $ dan $ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) \leq 4 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \, $
B). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
C). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \, $
D). $ \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Penulisan logaritma dan trigonometri :
$ {}^a \log ^ n b = ({}^a \log b )^2 $
$ \sin ^n x = (\sin x)^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = {}^2 \log (\sin x) $ :
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) & \leq 4 \\ ({}^2 \log (\sin x) )^2 - {}^2 \log (\sin x)^3 & \leq 4 \\ ({}^2 \log (\sin x) )^2 - 3 ({}^2 \log (\sin x)) & \leq 4 \\ (p)^2 - 3p & \leq 4 \\ p^2 - 3p - 4 & \leq 0 \\ (p + 1)(p - 4) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 4 \\ p = -1 \rightarrow {}^2 \log (\sin x) & = -1 \\ (\sin x) & = 2^{-1} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6} \\ p = 4 \rightarrow {}^2 \log (\sin x) & = 4 \\ (\sin x) & = 2^4 \\ (\sin x) & = 16 \end{align} $
karena nilai $ \sin x $ paling besar $ 1 $ , maka tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin x = 16 $.
Garis bilangannya :
 
Yang diminta $ \leq 0 $ , sehingga solusinya daerah yang negatif yaitu $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} $.
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Barisan UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Anton membuat setigia sama-sisi dari segitiga-segitiga sama-sisi satuan (panjang sisi 1 satuan). Pada langkah pertama diperlukan 1 buah segitiga sama-sisi satuan. Pada langkah ke-2, dia menambahkan 3 buah segitiga satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 2 satuan. Pada langkah ke-3 ditambahkan 5 segitiga sama-sisi satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 3 satuan. Sampai dengan langkah ke-9, diperoleh segitiga sama-sisi satuan sebanyak ....
A). $ 13 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n $ bentuk kuadrat :
$ U_n = n^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut adalah gambar segitiga yang terbentuk pada langkah-langkah awal dan banyaknya jumlah segitiga satuan pada setiap langkah.
 
*). Dari gambar tersebut, banyaknya segitiga satuan membentuk barisan 1, 4, 9, 16, ..... Barisan ini membentuk pola persegi (kuadrat).
*). Menentukan banyak segitiga satuan pada langkah ke-9 $( U_9 ) $ :
$ \begin{align} U_n & = n^2 \\ U_9 & = 9^2 = 81 \end{align} $
Jadi, banyaknya segitiga satuan pada langkah ke-9 ada 81 segitiga satuan $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pola Bilangan UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Anton membuat setigia sama-sisi dari segitiga-segitiga sama-sisi satuan (panjang sisi 1 satuan). Pada langkah pertama diperlukan 1 buah segitiga sama-sisi satuan. Pada langkah ke-2, dia menambahkan 3 buah segitiga satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 2 satuan. Pada langkah ke-3 ditambahkan 5 segitiga sama-sisi satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 3 satuan. Sampai dengan langkah ke-9, diperoleh segitiga sama-sisi satuan sebanyak ....
A). $ 13 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n $ barisan tingkat dua adalah :
$ U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2).c}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berikut adalah gambar segitiga yang terbentuk pada langkah-langkah awal dan banyaknya jumlah segitiga satuan pada setiap langkah.
 
*). Dari gambar tersebut, banyaknya segitiga satuan membentuk barisan 1, 4, 9, 16, ..... Barisan ini membentuk pola bertingkat yaitu tingkat dua dengan penjabaran seperti berikut ini.
 
dari penjabaran ini, kita peroleh nilai $ a = 1, b = 3, c = 2 $.
*). Menentukan banyak segitiga satuan pada langkah ke-9 (suku ke-9) :
$ \begin{align} U_n & = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2).c}{2} \\ U_9 & = 1 + (9-1).3 + \frac{(9-1)(9-2).2}{2} \\ & = 1 + 8.3 + \frac{8.7.2}{2} \\ & = 1 + 24 + 56 = 81 \end{align} $
Jadi, banyaknya segitiga satuan pada langkah ke-9 ada 81 segitiga satuan $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Peluang UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Dua orang pergi nonton sepak bola. Stadion itu mempunyai 4 pintu dan mereka lewat pintu yang sama, tetapi keluar lewat puntu yang berlainan. Maka banyaknya cara yang dapat terjadi adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 48 \, $ E). $ 12 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah pencacahan (aturan perkalian)
*). Misalkan kejadian pertama ada $ p $ cara dan kejadian kedua ada $ q $ cara, maka total cara adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada dua orang dan 4 pintu gerbang stadion.
*). Menentukan cara masuk dan keluar :
-). Masuk lewat pintu yang sama, artinya dua orang tersebut masuk lewat pintu yang sama sehingga ada 4 kemungkinan cara masuk yaitu bisa lewat pintu pertama, atau kedua, atau ketiga , atau pintu keempat.
-). Keluar lewat pintu yang berlainan, artinya mereka berdua tidak boleh keluar lewat pintu yang sama. Orang pertama ada 4 pilihan keluar, setelah itu orang kedua tersisa 3 pilihan pintu karena satu pintu sudah dipakai oleh orang pertama. Sehingga cara keluar ada $ 4 \times 3 = 12 \, $ cara.
-). TOTal cara masuk dan keluar pintu stadion :
$ \begin{align} 4 \times 12 = 48 \, \, \, \, \text{ cara } \end{align} $
Jadi, banyaknya cara ada $ 48 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Fungsi Naik UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} $ , maka fungsi $ f $ naik pada selang ....
A). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , 0 \right) \, $ B). $ \left( 0, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $ C). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $
D). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $ E). $ \left( \frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $ .
*). Turunana fungsi :
1). $ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
2). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ( + atau $ - $ )
3). Arsir daerah yang diinginkan
4). Buat himpunan penyelesaiannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya dan syarat fungsi naik :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} = \frac{U}{V} \\ U & = \sqrt{x} \rightarrow U^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ V & = x^2 + 1 \rightarrow V^\prime = 2x \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x}{(x^2+1)^2} \\ f^\prime (x) & > 0 \\ & \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x}{(x^2+1)^2} > 0 \end{align} $
*). karena penyebutnya $ (x^2+1)^2 $ selalu positif, maka yang menentukan tersisa pembilangnya yaitu $ \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x > 0 $ . Kita tentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) & - \sqrt{x}.2x = 0 \\ \sqrt{x}.2x & = \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) \\ 2x \sqrt{x} \times 2\sqrt{x} & = (x^2+1) \\ 4x^2 & = x^2+1 \\ 3x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{3} \\ x & = \pm \sqrt{ \frac{1}{3} } \\ x & = \pm \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \end{align} $
Garis bilangannya :
 
-). Perhatikan bentuk turunan fungsi $ f(x) $, ada bentuk $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ yang artinya $ \sqrt{x} \neq 0 $ dan syarat dalam akar harus positif, sehingga haruslah $ x > 0 $.
-). Dari garis bilangan dan syarat $ x > 0 $ , maka fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ 0 < x < \frac{\sqrt{ 3 }}{3} $ atau dapat ditulis $ \left( 0 , \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) $.
Jadi, fungsinya naik pada selang $ \left( 0 , \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Mutlak UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ |x^2 - 3 | < 2x $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ -1 < x < 3 \, $
B). $ -3 < x < 1 \, $
C). $ 1 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < -1 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= \text{ negatif} \Rightarrow |x^2 - 3 | & < 2x \\ \text{positif} & < \text{ negatif} \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= \text{ negatif} $ SALAH, opsi yang salah A, B, dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=4 \Rightarrow |x^2 - 3 | & < 2x \\ |4^2 - 3 | & < 2. 4 \\ 15 & < 8 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=4$ SALAH, opsi yang salah E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ 1 < x < 3 \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ |x^2 - 3 | < 2x $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ -1 < x < 3 \, $
B). $ -3 < x < 1 \, $
C). $ 1 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < -1 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Kedua bentuk yaitu $ f(x) $ dan $ - f(x) $ digabungkan hasilnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Berdasarkan definisi bentuk mutlak :
$ |x^2 - 3| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - 3 & , \text{ untuk } x - \leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} \\ 3 - x^2 & , \text{ untuk } -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} \end{array} \right. $
-). Batas pada mutlak di atas kita peroleh dari menyelesaikan $ x^2 - 3 \geq 0 $ dan $ x^2 - 3 < 0 $ sesuai definisi nilai mutlak di atas.
-). Dari definisi, kita peroleh :
untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
*). Menyelesaikan soalnya berdasarkan definisi :
-). untuk $ x -\leq \sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = x^2 -3 $
$ \begin{align} |x^2 - 3 | & < 2x \\ x^2 - 3 & < 2x \\ x^2 - 2x - 3 & < 0 \\ (x + 1)(x-3) & < 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 
Dari garis bilangan dan syarat $ x \leq -\sqrt{3} \vee x \geq \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama : $ HP1 = \sqrt{3} \leq x < 3 $
-). untuk $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $ , maka $ | x^2 - 3 | = 3 - x^2 $
$ \begin{align} |x^2 - 3 | & < 2x \\ 3 - x^2 & < 2x \\ -x^2 - 2x + 3 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 + 2x - 3 & > 0 \\ (x - 1)(x+3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = -3 \end{align} $
garis bilangannya :
 
Dari garis bilangan dan syarat $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $, maka solusi kasus pertama : $ HP2 = 1 < x < \sqrt{3} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 :
$ \begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 = 1 < x < 3 \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya $ \{ 1 < x < 3 \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan PersamaanTri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ diantara $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2} $ adalah ....
A). $ 15^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
B). $ 75^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
C). $ 15^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
D). $ 75^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
E). $ 15^\circ \, $ dan $ 75^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, \sin( A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
*). Persamaan trigonometri :
$ \sin f(x) = \sin \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = (180^\circ -\theta ) + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = \sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{1}{2} ) \\ \frac{1}{2} \sqrt{3}. \cos x - \frac{1}{2} . \sin x & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin 60^\circ . \cos x - \cos 60^\circ . \sin x & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin ( 60^\circ - x ) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sin ( 60^\circ - x ) & = \sin 45^\circ \\ f(x) = 60^\circ - x , \theta & = 45^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 60^\circ - x & = 45^\circ + k.2\pi \\ x & = 15^\circ - k.2\pi \\ k = 0 \rightarrow x & = 15^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
ii). $ f(x) = ( 180^\circ -\theta) + k.2\pi $
$ \begin{align} 60^\circ - x & = ( 180^\circ -45^\circ ) + k.2\pi \\ 60^\circ - x & = 135^\circ + k.2\pi \\ x & = -75^\circ - k.2\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = 285^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
Sehingga solusinya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} $
Jadi, penyelesaiannya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ diantara $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2} $ adalah ....
A). $ 15^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
B). $ 75^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
C). $ 15^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
D). $ 75^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
E). $ 15^\circ \, $ dan $ 75^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos ( f(x) - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
dari bentuk $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = - \sin x + \sqrt{3}\cos x $ ,
$ a = -1 , b = \sqrt{3} $ dan $ f(x) = x $
$ k = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
$ \tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}} \rightarrow \tan \theta = - \frac{1}{\sqrt{3}} \rightarrow \theta = 330^\circ $
(karena sin negatif dan cos positif sehingga $ \theta $ di kuadrat IV).
Sehingga bentuknya menjadi :
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = k \cos ( f(x) - \theta ) \\ & = 2 \cos ( x - 330^\circ ) \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} \sqrt{3}\cos x - \sin x & = \sqrt{2} \\ 2 \cos ( x - 330^\circ ) & = \sqrt{2} \\ \cos ( x - 330^\circ ) & = \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \cos ( x - 330^\circ ) & = \cos 45^\circ \\ f(x) = x - 330^\circ , \theta & = 45^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} x - 330^\circ & = 45^\circ + k.2\pi \\ x & = 375^\circ + k.2\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = 15^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
ii). $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
$ \begin{align} x - 330^\circ & = -45^\circ + k.2\pi \\ x & = 285^\circ + k.2\pi \\ k = 0 \rightarrow x & = 285^\circ \end{align} $
(yang lainnya diluar $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $).
Sehingga solusinya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} $
Jadi, penyelesaiannya $ x = \{ 15^\circ , 285^\circ \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk $ a $. P adalah titik pada perpanjangan AE sehingga $ PE = \frac{1}{2}a $. Jika bidang PBD memotong bidang atas EFGH sepanjang QR, maka $ QR = .... $
A). $ \frac{1}{3}a \, $ B). $ \frac{1}{2}a \, $ C). $ \frac{1}{3}a\sqrt{2} \, $
D). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{2}{3}a\sqrt{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua buah segitiga sebangun memiliki perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
*). Ciri-ciri dua segitiga sebangun adalah ketiga sudut yang bersesuaian sama.
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 
panjang rusuk kubus $ = a $, $ PE = \frac{1}{2}a $
panjang $ PA = PE + EA = \frac{1}{2}a + a = \frac{3}{2}a $
panjang $ EQ = ER $.
*). Segitiga PEQ sebangun dengan segitiga PAB, sehingga
$ \begin{align} \frac{EQ}{AB} & = \frac{PE}{PA} \\ \frac{EQ}{a} & = \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{3}{2}a} \\ \frac{EQ}{a} & = \frac{1}{3} \\ EQ & = \frac{1}{3} a \end{align} $
*). Menentukan panjang $ QR $ :
$ \begin{align} QR & = \sqrt{EQ^2 + ER^2} \\ & = \sqrt{ (\frac{1}{3} a) ^2 + (\frac{1}{3} a )^2} \\ & = \sqrt{ 2(\frac{1}{3} a) ^2 } = \frac{1}{3} a \sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, panjang $ QR = \frac{1}{3} a \sqrt{ 2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah enam suku pertama suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 56 dan 108, maka jumlah ke sepuluh suku pertama deret itu adalah ....
A). $ 164 \, $ B). $ 176 \, $ C). $ 200 \, $ D). $ 216 \, $ E). $ 260 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama deret aritmetika :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Pertama : $ S_4 = 56 $
$ \begin{align} S_4 & = 56 \\ \frac{4}{2}(2a + (4-1)b) & = 56 \\ 2(2a + 3b) & = 56 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a + 3b & = 28 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). Kedua : $ S_6 = 108 $
$ \begin{align} S_6 & = 108 \\ \frac{6}{2}(2a + (6-1)b) & = 108 \\ 3(2a + 5b) & = 108 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2a + 5b & = 36 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 2a + 5b = 36 & \\ 2a + 3b = 28 & - \\ \hline 2b = 8 & \\ b = 4 & \end{array} $
Pers(i) : $ 2a + 3. 4 = 28 \rightarrow a = 8 $
*). Menentukan nilai $ S_{10} $ :
$ \begin{align} S_{10} & = \frac{10}{2}(2a + 9b) \\ & = 5(2.8 + 9.4) \\ & = 5( 16 + 36) \\ & = 5 . ( 52) 260 \end{align} $
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah $ 260 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Maksimum UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah segitiga siku-siku kelilingnya $ 3\sqrt{2} $. Nilai minimum panjang sisi miringnya adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \, $
B). $ 7 - 3\sqrt{2} \, $
C). $ 7 - 4\sqrt{2} \, $
D). $ 6 - 3\sqrt{2} \, $
E). $ 6 - 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ y = A\cos f(x) + c $ memiliki nilai maksimum $ A + c $
*). Bentuk $ a \sin x + b \cos x = k \cos ( x - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2 } $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
sehingga $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos (x - \theta ) $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $.
*). Untuk merasionalkan penyebut bentuk akar dapat dilakukan dengan mengalikan bentuk sekawannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar segitiganya :
 
Dari gambar kita peroleh perbandingan trigonometrinya :
$ \sin x = \frac{a}{c} \rightarrow a = c\sin x $
$ \cos x = \frac{b}{c} \rightarrow b = c\cos x $
*). dari keliling segitiganya dan perbandingan trigonometri :
$ \begin{align} a + b + c & = 3\sqrt{2} \\ c\sin x + c\cos x + c & = 3\sqrt{2} \\ c(\sin x + \cos x + 1) & = 3\sqrt{2} \\ c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sin x + \cos x + 1} \\ c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} \end{align} $
*). Agar bentuk $ \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} $ minimum, maka penyebutnya harus maksimum. Bentuk $ \sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1 $ memiliki nilai maksimum yaitu $ \sqrt{2} + 1 $. Sehingga $ c $ minimum dengan nilai :
$ \begin{align} c & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cos (x - \theta) + 1} \\ & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} \\ & = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{6 - 3\sqrt{2}}{1} = 6 - 3\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai minimum sisi miringnya adalah $ 6 - 3\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Maksimum UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah segitiga siku-siku kelilingnya $ 3\sqrt{2} $. Nilai minimum panjang sisi miringnya adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \, $
B). $ 7 - 3\sqrt{2} \, $
C). $ 7 - 4\sqrt{2} \, $
D). $ 6 - 3\sqrt{2} \, $
E). $ 6 - 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi $ y = f(x) $ tercapai untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ . (Turunan pertama fungsi = 0 ).
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar segitiganya :
 
Berlaku teorema pythagoras yaitu
$ c^2 = a^2 + b^2 \, $ .....pers(i).
Pada soal diketahui keliling segitiga $ = 3\sqrt{2} $
$ a + b + c = 3\sqrt{2} \rightarrow a = 3\sqrt{2} - (b+c) \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} c^2 & = a^2 + b^2 \\ c^2 & = [3\sqrt{2} - (b+c)]^2 + b^2 \\ c^2 & = 18 - 6\sqrt{2}(b+c) + (b+c)^2 + b^2 \\ c^2 & = 18 - 6\sqrt{2}b - 6\sqrt{2}c + b^2 + 2bc + c^2 + b^2 \\ 0 & = 18 - 6\sqrt{2}b - 6\sqrt{2}c + 2b^2 + 2bc \\ 6\sqrt{2}c - 2bc & = 2b^2 - 6\sqrt{2}b + 18 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 3\sqrt{2}c - bc & = b^2 - 3\sqrt{2}b + 9 \\ (3\sqrt{2} - b)c & = b^2 - 3\sqrt{2}b + 9 \\ c & = \frac{b^2 - 3\sqrt{2}b + 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = \frac{b(b - 3\sqrt{2}) + 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = \frac{b(b - 3\sqrt{2}) }{(3\sqrt{2} - b)} + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = -b + 9(3\sqrt{2} - b)^{-1} \\ c^\prime & = -1 + 9(3\sqrt{2} - b)^{-2} \\ c^\prime & = -1 + \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \\ 0 & = -1 + \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \, \, \, \, \, \text{(syarat)} \\ 1 & = \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \\ 9 & = (3\sqrt{2} - b)^2 \\ \pm \sqrt{9} & = 3\sqrt{2} - b \\ \pm 3 & = 3\sqrt{2} - b \\ b & = 3\sqrt{2} \pm 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan $ c = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} $
-). Untuk $ b = 3\sqrt{2} + 3 $
$ \begin{align} c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ & = -(3\sqrt{2} + 3 ) + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - (3\sqrt{2} + 3 ))} \\ & = -3\sqrt{2} - 3 + \frac{ 9}{-3} \\ & = -3\sqrt{2} - 3 -3 \\ & = -3\sqrt{2} - 6 \end{align} $
-). Untuk $ b = 3\sqrt{2} - 3 $
$ \begin{align} c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ & = -(3\sqrt{2} - 3 ) + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - (3\sqrt{2} - 3 ))} \\ & = -3\sqrt{2} + 3 + \frac{ 9}{3} \\ & = -3\sqrt{2} + 3 + 3 \\ & = -3\sqrt{2} + 6 \\ & = 6 - 3\sqrt{2} \end{align} $
-). Karena panjang sisi-sisi segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah $ c = 6 - 3\sqrt{2} $.
Jadi, nilai minimum sisi miringnya adalah $ 6 - 3\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\left(x - \frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x - \frac{3\pi}{4} \right)}{2(1 - \sin 2x)} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{3}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $ dan $ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\tan ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $
*). RUmus dasar trigonometri :
$ 1 - \cos 2A = 2 \sin A . \sin A $
$ \sin (\frac{\pi}{2} + A) = \cos A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ y = x - \frac{\pi}{4} $ sehingga $ x = y + \frac{\pi}{4} $
untuk $ x $ mendekati $ \frac{\pi}{4} $ maka $ y $ mendekati nol.
*). Menyelesaikan soal
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\left(x - \frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x - \frac{3\pi}{4} \right)}{2(1 - \sin 2x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\left(x - \frac{\pi}{4} \right) \tan 3 \left(x - \frac{\pi}{4} \right)}{2(1 - \sin 2x)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2(1 - \sin 2 \left(y + \frac{\pi}{4} \right) )} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2(1 - \sin \left(2y + \frac{\pi}{2} \right) )} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2(1 - \cos 2y )} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{y . \tan 3 y}{2( 2\sin y . \sin y) } \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{1}{4} . \frac{y }{ \sin y } . \frac{\tan 3 y}{ \sin y } \\ & = \frac{1}{4} . \frac{1 }{ 1 } . \frac{3}{ 1 } = \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian pertidaksamaan $ 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x < 3 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , adalah ....
A). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $
B). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x \leq \pi $
C). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{\pi}{3} < x \leq \pi $
D). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{6} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $
E). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x \leq \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos ( f(x) - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ( + atau $ - $ )
3). Arsir daerah yang diinginkan
4). Buat himpunan penyelesaiannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
dari bentuk $ 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x $ ,
$ a = 3 , b = -\sqrt{3} $ dan $ f(x) = 2x $
$ k = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
$ \tan \theta = \frac{3}{-\sqrt{3}} \rightarrow \tan \theta = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120^\circ $
Sehingga bentuknya menjadi :
$ \begin{align} 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x & = k \cos ( f(x) - \theta ) \\ & = 2\sqrt{3} \cos ( 2x - 120^\circ ) \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x & < 3 \\ 2\sqrt{3} \cos ( 2x - 120^\circ ) & < 3 \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & < \frac{3}{2\sqrt{3}} \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & < \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & = \cos 30^\circ \\ f(x) = 2x - 120^\circ , \theta & = 30^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 2x - 120^\circ & = 30^\circ + k.2\pi \\ 2x & = 150^\circ + k.2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 75^\circ + k.\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = -105^\circ = -\frac{7\pi}{12} \\ k = 0 \rightarrow x & = 75^\circ = \frac{5\pi}{12} \\ k = 1 \rightarrow x & = 255^\circ = \frac{17\pi}{12} \end{align} $
$ x = \{ -\frac{7\pi}{12} , \frac{5\pi}{12} , \frac{17\pi}{12} \} $
ii). $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 2x - 120^\circ & = -30^\circ + k.2\pi \\ 2x & = 90^\circ + k.2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 45^\circ + k.\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = -135^\circ = -\frac{3\pi}{4} \\ k = 0 \rightarrow x & = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \\ k = 1 \rightarrow x & = 225^\circ = \frac{5\pi}{4} \end{align} $
$ x = \{ -\frac{3\pi}{4} , \frac{\pi}{4} , \frac{5\pi}{4} \} $
Solusi kita ambil yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $.
Garis bilangannya:
 
Karena yang diminta $ < $ , maka penyelesaiannya adalah daerah yang negatif. Namun kita cari di dalam interval $ 0 \leq x \leq \pi $, sehingga solusinya : $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $.
Jadi, penyelesaiannya $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} < \frac{1}{2} $ adalah ....
A). $ x < - 100 \, $
B). $ x < -10 \, $
C). $ 0 < x < \frac{1}{100} \, $
D). $ \frac{1}{100} < x < \frac{1}{10} \, $
E). $ 2 < x < 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat bentuk logaritma $ {}^a \log f(x) $ :
$ a > 0, a \neq 1 $ , dan $ f(x) > 0 $
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log a = 1 $
2). $ {}^a \log b. {}^b \log c = {}^a \log c $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
4). $ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
5). $ (a )^{ {}^a \log b } = b $
*). Bentuk $ \log b = {}^{10} \log b $
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, $ (a^m)^n = a^{m.n} $ dan $ a^{m+n} = a^m.a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari bentuk $ \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} $ , syarat logaritmanya :
$ 4x > 0 \rightarrow x > 0 $ dan $ 2x > 0 \rightarrow x > 0 $ ,
dari kedua syarat, maka nilai $ x > 0 \, $ ....(HP1)
*). Menyederhanakan dan menyelesaikan soal
$ \begin{align} \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log (2x . 2)}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log 2x + \log 2}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log 2x}.x^{ \log 2}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2 x^{ \log 2}}{1} & < \frac{1}{2} \\ 2 x^{ \log 2} & < \frac{1}{2} \\ x^{ \log 2} & < \frac{1}{4} \\ x^{ {}^{10} \log 2} & < 2^{-2} \, \, \, \, \, \text{pangkatkan)} \\ (x^{ {}^{10} \log 2})^{{}^2 \log 10} & < (2^{-2})^{{}^2 \log 10} \\ x^{ {}^{10} \log 2. {}^2 \log 10} & < 2^{ -2. {}^2 \log 10} \\ x^{ {}^{10} \log 10} & < 2^{{}^2 \log 10 ^ {-2} } \\ x^{ 1} & < 10 ^ {-2} \\ x & < \frac{1}{100} \, \, \, \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Solusi totalnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$ \begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x > 0 \} \cap \{ x < \frac{1}{100} \} \\ & = 0 < x < \frac{1}{100} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ 0 < x < \frac{1}{100} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Garis $ y = 2x + k $ memotong parabola $ y = x^2 - x + 3 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Jika $ x_1^2 + x_2^2 = 7 $ , maka nilai $ k = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan titik potong dua buah kurva, bisa dengan cara substitusi.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi atau samakan persamaan garis dan parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - x + 3 & = 2x + k \\ x^2 - 3x + (3 - k) & = 0 \\ a = 1 , b = -3 , c & = 3 - k \\ x_1 + x_2 & = \frac{-(-3)}{1} = 3 \\ x_1 . x_2 & = \frac{3-k}{1} = 3 - k \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $
$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 7 \\ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 7 \\ (3)^2 - 2( 3 - k) & = 7 \\ 9 - 6 + 2k & = 7 \\ 2k & = 4 \\ k & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dibagi $ (x-1) $ sisanya 3, sedangkan jika dibagi $ (x-2) $ sisanya 4. Jika $ f(x) $ dibagi dengan $ x^2 - 3x + 2 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ -x-2 \, $ B). $ x + 1 \, $
C). $ x + 2 \, $ D). $ 2x + 1 \, $
E). $ 4x - 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa pada pembagian suku banyak :
Jika $ f(x) $ dibagi $ (x-a) $ maka sisa $ = f(a) $
Jika $ f(x) $ dibagi $ (x-a)(x-b) $ maka sisa $ = f(a) $ dan sisa $ = f(b) $
(substitusi akar pembaginya ke suku banyaknya)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) $ dibagi $ (x-1) $ sisanya 3
artinya sisa $ = f(1) \rightarrow f(1) = 3 $
*). Fungsi $ f(x) $ dibagi $ (x-2) $ sisanya 4
artinya sisa $ = f(2) \rightarrow f(2) = 4 $
*). Fungsi $ f(x) $ dibagi $ x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) $ memiliki sisa $ = f(1) $ dan sisa $ = f(2) $ serta kita misalkan sisanya $ s(x) = ax+b $, sehingga dapat kita susun persamaan :
$ \begin{align} \text{sisa } = f(1) \rightarrow s(1) & = f(1) \\ a.1+b & = 3 \\ a+b & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ \text{sisa } = f(2) \rightarrow s(2) & = f(2) \\ a.2+b & = 4 \\ 2a+b & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2a + b = 4 & \\ a + b = 3 & - \\ \hline a = 1 & \end{array} $
Pers(i): $ a + b = 3 \rightarrow 1 + b = 3 \rightarrow b = 2 $.
Sehingga sisanya $ s(x) = ax+ b = 1.x + 2 = x+ 2 $
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ x + 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Transformasi UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} a & -3 \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mentransformasikan titik $(5,1) $ ke titik $ (7,-12)$ dan invernya mentransformasikan titik P ke titik $ (1,0) $, maka koordinat titik P adalah ....
A). $ (2,-4) \, $ B). $ (2,4) \, $ C). $ (-2,4) \, $ D). $ (-2,-4) \, $ E). $ (1,-3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menentukan bayangan transformasi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
dengan MT = matriks transformasi.
*). Sifat invers matriks :
$ A = B^{-1}.C \rightarrow B.A = C $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ (x,y) = (5,1) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) = (7, -12) $, serta $ MT = \left( \begin{matrix} a & -3 \\ -4 & b \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari transformasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 7 \\ -12 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & -3 \\ -4 & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 7 \\ -12 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5a - 3 \\ -20 + b \end{matrix} \right) \\ 7 & = 5a - 3 \rightarrow a = 2 \\ -12 & = -20 + b \rightarrow b = 8 \end{align} $
Sehingga matriks trasformasinya : $ MT = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -4 & 8 \end{matrix} \right) $
*). Diketahui titik $ P(x,y) $ ditrasformasi oleh $ (MT)^{-1} $ menghasilkana $ P^\prime (1,0) $ :
dengan menggunakan sifat invers matriks dan transformasi :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT)^{-1}.\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ (MT). \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -4 & 8 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya titik $ P (2,-4) $.
Jadi, titik $ P (2,-4) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)