Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian pertidaksamaan $ 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x < 3 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , adalah ....
A). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $
B). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x \leq \pi $
C). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{\pi}{3} < x \leq \pi $
D). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{6} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $
E). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x \leq \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos ( f(x) - \theta ) $
dengan $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = \theta + k.2\pi $ atau $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ( + atau $ - $ )
3). Arsir daerah yang diinginkan
4). Buat himpunan penyelesaiannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
dari bentuk $ 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x $ ,
$ a = 3 , b = -\sqrt{3} $ dan $ f(x) = 2x $
$ k = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
$ \tan \theta = \frac{3}{-\sqrt{3}} \rightarrow \tan \theta = -\sqrt{3} \rightarrow \theta = 120^\circ $
Sehingga bentuknya menjadi :
$ \begin{align} 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x & = k \cos ( f(x) - \theta ) \\ & = 2\sqrt{3} \cos ( 2x - 120^\circ ) \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya
$ \begin{align} 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x & < 3 \\ 2\sqrt{3} \cos ( 2x - 120^\circ ) & < 3 \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & < \frac{3}{2\sqrt{3}} \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & < \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos ( 2x - 120^\circ ) & = \cos 30^\circ \\ f(x) = 2x - 120^\circ , \theta & = 30^\circ \end{align} $
memiliki penyelesaian (akar-akar) :
i). $ f(x) = \theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 2x - 120^\circ & = 30^\circ + k.2\pi \\ 2x & = 150^\circ + k.2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 75^\circ + k.\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = -105^\circ = -\frac{7\pi}{12} \\ k = 0 \rightarrow x & = 75^\circ = \frac{5\pi}{12} \\ k = 1 \rightarrow x & = 255^\circ = \frac{17\pi}{12} \end{align} $
$ x = \{ -\frac{7\pi}{12} , \frac{5\pi}{12} , \frac{17\pi}{12} \} $
ii). $ f(x) = -\theta + k.2\pi $
$ \begin{align} 2x - 120^\circ & = -30^\circ + k.2\pi \\ 2x & = 90^\circ + k.2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 45^\circ + k.\pi \\ k = -1 \rightarrow x & = -135^\circ = -\frac{3\pi}{4} \\ k = 0 \rightarrow x & = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \\ k = 1 \rightarrow x & = 225^\circ = \frac{5\pi}{4} \end{align} $
$ x = \{ -\frac{3\pi}{4} , \frac{\pi}{4} , \frac{5\pi}{4} \} $
Solusi kita ambil yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $.
Garis bilangannya:
 

Karena yang diminta $ < $ , maka penyelesaiannya adalah daerah yang negatif. Namun kita cari di dalam interval $ 0 \leq x \leq \pi $, sehingga solusinya : $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi $.
Jadi, penyelesaiannya $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x \leq \pi . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar