Pembahasan Turunan Maksimum UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah segitiga siku-siku kelilingnya $ 3\sqrt{2} $. Nilai minimum panjang sisi miringnya adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \, $
B). $ 7 - 3\sqrt{2} \, $
C). $ 7 - 4\sqrt{2} \, $
D). $ 6 - 3\sqrt{2} \, $
E). $ 6 - 4\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi $ y = f(x) $ tercapai untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ . (Turunan pertama fungsi = 0 ).
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar segitiganya :
 

Berlaku teorema pythagoras yaitu
$ c^2 = a^2 + b^2 \, $ .....pers(i).
Pada soal diketahui keliling segitiga $ = 3\sqrt{2} $
$ a + b + c = 3\sqrt{2} \rightarrow a = 3\sqrt{2} - (b+c) \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} c^2 & = a^2 + b^2 \\ c^2 & = [3\sqrt{2} - (b+c)]^2 + b^2 \\ c^2 & = 18 - 6\sqrt{2}(b+c) + (b+c)^2 + b^2 \\ c^2 & = 18 - 6\sqrt{2}b - 6\sqrt{2}c + b^2 + 2bc + c^2 + b^2 \\ 0 & = 18 - 6\sqrt{2}b - 6\sqrt{2}c + 2b^2 + 2bc \\ 6\sqrt{2}c - 2bc & = 2b^2 - 6\sqrt{2}b + 18 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 3\sqrt{2}c - bc & = b^2 - 3\sqrt{2}b + 9 \\ (3\sqrt{2} - b)c & = b^2 - 3\sqrt{2}b + 9 \\ c & = \frac{b^2 - 3\sqrt{2}b + 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = \frac{b(b - 3\sqrt{2}) + 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = \frac{b(b - 3\sqrt{2}) }{(3\sqrt{2} - b)} + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ c & = -b + 9(3\sqrt{2} - b)^{-1} \\ c^\prime & = -1 + 9(3\sqrt{2} - b)^{-2} \\ c^\prime & = -1 + \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \\ 0 & = -1 + \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \, \, \, \, \, \text{(syarat)} \\ 1 & = \frac{9}{(3\sqrt{2} - b)^2} \\ 9 & = (3\sqrt{2} - b)^2 \\ \pm \sqrt{9} & = 3\sqrt{2} - b \\ \pm 3 & = 3\sqrt{2} - b \\ b & = 3\sqrt{2} \pm 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan $ c = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} $
-). Untuk $ b = 3\sqrt{2} + 3 $
$ \begin{align} c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ & = -(3\sqrt{2} + 3 ) + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - (3\sqrt{2} + 3 ))} \\ & = -3\sqrt{2} - 3 + \frac{ 9}{-3} \\ & = -3\sqrt{2} - 3 -3 \\ & = -3\sqrt{2} - 6 \end{align} $
-). Untuk $ b = 3\sqrt{2} - 3 $
$ \begin{align} c & = -b + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - b)} \\ & = -(3\sqrt{2} - 3 ) + \frac{ 9}{(3\sqrt{2} - (3\sqrt{2} - 3 ))} \\ & = -3\sqrt{2} + 3 + \frac{ 9}{3} \\ & = -3\sqrt{2} + 3 + 3 \\ & = -3\sqrt{2} + 6 \\ & = 6 - 3\sqrt{2} \end{align} $
-). Karena panjang sisi-sisi segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah $ c = 6 - 3\sqrt{2} $.
Jadi, nilai minimum sisi miringnya adalah $ 6 - 3\sqrt{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar