Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar persamaan $ x^2 - 2x + k = 0 $ dan $ a - \frac{5}{2} $ , $ a + b $ , $ a + 5 $ merupakan barisan geometri dengan suku-suku positif. Nilai $ k = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Misalkan ada tiga suku $ U_1, U_2, U_3 $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama :
$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \rightarrow (U_2)^2 = U_1.U_3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ x^2 - 2x + k = 0 $ memiliki akar-akar $ a $ dan $ b $
Operasi akar-akarnya :
$ a + b = 2 $ dan $ a.b = k $
*). $ a - \frac{5}{2} $ , $ a + b $ , $ a + 5 $ merupakan barisan geometri :
$ \begin{align} (U_2)^2 &= U_1.U_3 \\ (a+b)^2 &= ( a - \frac{5}{2}).(a+5) \\ (2)^2 &= a^2 + \frac{5}{2}a - \frac{25}{2} \\ 0 &= a^2 + \frac{5}{2}a - \frac{33}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 0 &= 2a^2 + 5a - 33 \\ 0 &= (2a + 11 )(a - 3) \\ a & = -\frac{11}{2} \vee a = 3 \end{align} $
Yang memenuhi $ a = 3 $ karena suku-suku positif.
*). Menentukan nilai $ b $ :
$ a + b = 2 \rightarrow 3 + b = 2 \rightarrow b = -1 $
Sehingga nilai $ k = a.b = 3. (-1) = -3 $
Jadi, nilai $ k = -3 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar