Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P pada rusuk AE dengan $ AP = 3 \, $ cm, Q titik tengah AB. Luas segitiga HPQ adalah ....
A). $ \frac{1}{2}\sqrt{53} \, $ cm$^2 $
B). $ \sqrt{53} \, $ cm$^2 $
C). $ 2\sqrt{53} \, $ cm$^2 $
D). $ \frac{1}{3}\sqrt{53} \, $ cm$^2 $
E). $ \frac{2}{3}\sqrt{53} \, $ cm$^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan kosinus segitiga ABC :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \, $ atau $ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). Luas segitiga ABC :
Luas $ = \frac{1}{2}. b. c . \sin A $
Dengan $ a = BC, b = AC, $ dan $ c = AB $
*). Identitas tirgonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{ 1 - \cos ^2 A} $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Ilustrasi gambar :
 

$ HP = \sqrt{EH^2 + EP^2} = \sqrt{4^2 + 1^2 } = \sqrt{17} $
$ PQ = \sqrt{AP^2 + AQ^2} = \sqrt{3^2 + 2^2 } = \sqrt{13} $
$ DQ = \sqrt{AD^2 + AQ^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 } = \sqrt{20} $
$ HQ = \sqrt{DH^2 + DQ^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{20})^2 } = \sqrt{36} = 6 $
*). Menentukan nilai $ \cos P $ pada segitiga HPQ :
$ \begin{align} \cos P & = \frac{PQ^2 + PH^2 - HQ^2}{2.PQ.PH} \\ & = \frac{(\sqrt{13})^2 + (\sqrt{17})^2 - 6^2}{2.(\sqrt{13}).(\sqrt{17})} \\ & = \frac{13 + 17 - 36}{2\sqrt{221}} \\ & = \frac{-6}{2\sqrt{221}} = - \frac{3}{\sqrt{221}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin P $ :
$ \begin{align} \sin P & = \sqrt{1 - \cos ^2 P} \\ & = \sqrt{1 - (- \frac{3}{\sqrt{221}})^2} \\ & = \sqrt{1 - \frac{9}{221}} \\ & = \sqrt{\frac{212}{221}} = \frac{2\sqrt{53}}{\sqrt{221}} \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiga HPQ :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2}. PQ. PH . \sin P \\ & = \frac{1}{2}.\sqrt{13}.\sqrt{17} . \frac{2\sqrt{53}}{\sqrt{221}} \\ & = \frac{1}{2}.\sqrt{221} . \frac{2\sqrt{53}}{\sqrt{221}} \\ & = \sqrt{53} \end{align} $
Jadi, luas segitiga HPQ adalah $ \sqrt{53} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar