Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan $ x^2 - 3x + n = 0 $ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $ x^2 + x - n = 0 $. Maka nilai $ n $ adalah ....
A). $ -10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 12 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Rumus bantu :
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1.x_2(x_1+x_2) $
Jumlah kuadrat $ = x_1^2 + x_2^2 $
Jumlah pangkat tiga $ = x_1^3 + x_2^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK1 $ x^2 - 3x + n = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = 3 $ dan $ x_1 . x_2 = n $
*). PK2 $ x^2 + x - n = 0 $ memiliki akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
Operasi akar-akarnya :
$ y_1 + y_2 = -1 $ dan $ y_1 . y_2 = -n $
*). Menentukan nilai $ n $ :
$ \begin{align} \text{Jumlah kuadrat PK1 } & = \text{ jumlah pangkat 3 PK2} \\ x_1^2 + x_2^2 & = y_1^3 + y_2^3 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 & = (y_1+y_2)^3 - 3y_1.y_2(y_1+y_2) \\ (3)^2 - 2n & = (-1)^3 - 3.(-n).(-1) \\ 9 - 2n & = -1 - 3n \\ n & = -10 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = -10 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar