Pembahasan Determinan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Bila $ A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ dan determinan $ A $ sama dengan $ 1 $, maka $ x $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{\pi}{6} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \, $ dan $ \frac{\pi}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Det(A) $ = |A| = ad - bc $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
*). RUmus perbandingan trigonometri : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Determinan matriks A = 1 :
$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) & \\ |A| & = 1 \\ \sin ^2 x . 1 - (-\cos x) . \sqrt{3}\sin x & = 1 \\ \sin ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ 1 - \cos ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ \sqrt{3}\cos x \sin x - \cos ^2 x & = 0 \\ \cos x ( \sqrt{3}\sin x - \cos x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \end{align} $
-). Untuk $ \cos x = 0 $, tidak ada $ x $ yang memenuhi pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $.
-). Untuk $ \sqrt{3}\sin x - \cos x = 0 $ :
$\begin{align} \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \\ \sqrt{3}\sin x & = \cos x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x & = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} $
Pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $ adalah $ x = \frac{\pi}{6} $.
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{6} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar