Pembahasan Limit Takhingga UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} $ sama dengan ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit Tak Hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x^n} = \frac{1}{\infty ^ n } = 0 $ untuk $ n $ bilangan asli.
*). sifat bentuk akar :
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $ dan $ \frac{\sqrt{a}}{b} = \sqrt{\frac{a}{b^2}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan kali $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \times \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ \frac{ x + \sqrt{x + \sqrt{x}} }{x} }} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \frac{ \sqrt{x + \sqrt{x}} }{x} }} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{x + \sqrt{x}}{x^2}} }} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{x} + \frac{ \sqrt{x}}{x^2} }}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{x} + \sqrt{ \frac{x}{x^4}} }}} = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{x} + \sqrt{ \frac{1}{x^3}} }}} \\ & = \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ \frac{1}{ \infty} + \sqrt{ \frac{1}{ \infty^3}} }}} = \frac{1 }{\sqrt{ 1 + \sqrt{ 0 + \sqrt{ 0} }}} \\ & = \frac{1 }{\sqrt{ 1 }} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar