Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 346

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^a \log (b), {}^a \log ( b + 2) , $ dan $ {}^a \log (2b + 4) $ adalah tiga suku berurutan suatu barisan aritmetika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 3, maka $ a + b = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih dua suku berdekatan sama.
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
2). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Persamaan logaritma : $ \log A = \log B \rightarrow A = B $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b $
dengan syarat : $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ {}^a \log (b), {}^a \log ( b + 2) , $ dan $ {}^a \log (2b + 4) $ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, sehigga selisih dua suku berdekatan sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log ( b + 2) - {}^a \log (b) & = {}^a \log (2b + 4) - {}^a \log ( b + 2) \\ {}^a \log \frac{ b + 2}{b} & = {}^a \log \frac{2b + 4}{ b + 2} \\ \frac{ b + 2}{b} & = \frac{2b + 4}{ b + 2} \\ (2b + 4)(b) & = (b + 2)(b+2) \\ 2b^2 + 4b & = b^2 + 4b + 4 \\ b^2 & = 4 \\ b & = \pm 2 \end{align} $
Karena bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat $ b > 0 $ , maka $ b = 2 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nila $ a $ dengan jumlah tiga suku tersebut adalah 3 dan $ b = 2 $ :
$ \begin{align} {}^a \log (b) + {}^a \log ( b + 2) + {}^a \log (2b + 4) & = 3 \\ {}^a \log 2 + {}^a \log 4 + {}^a \log 8 & = 3 \\ {}^a \log 2. 4. 8 & = 3 \\ {}^a \log 64 & = 3 \\ a^3 & = 64 \\ a^3 & = 4^3 \\ a & = 4 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 4 + 2 = 6 $.
Jadi, nilai $ a + b = 6 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar