Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 233

Soal yang Akan Dibahas
Lima bilangan asli membentuk suatu barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri tersebut berturut-turut adalah 171 dan 76 maka jumlah 5 bilangan tersebut adalah ....
A). $ 125 \, $ B). $ 130 \, $ C). $ 180 \, $ D). $ 211 \, $ E). $ 347 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Jumlah $ n $ suku pertama
$ S_n = \frac{a(r^n-1)}{r - 1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui lima bilangan membentuk barisan geometri,
yaitu : $ U_1, \, U_2, \, U_3, \, U_4, \, $ dan $ U_5$.
*). Persamaan pertama : Jumlah tiga suku terkecil
$\begin{align} U_1 + U_2 + U_3 & = 76 \\ a + ar + ar^2 & = 76 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Persamaan kedua : jumlah tiga suku terbesar
$\begin{align} U_3 + U_4 + U_5 & = 171 \\ ar^2 + ar^3 + ar^4 & = 171 \\ r^2( a + ar + ar^2) & = 171 \, \, \, \, \, \, \text{.... dari pers(i)} \\ r^2 . 76 & = 171 \\ r^2 & = \frac{171}{76} = \frac{9}{4} \\ r & = \sqrt{ \frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} a + a.\frac{3}{2} + a.(\frac{3}{2})^2 & = 76 \\ a + \frac{3}{2}a + \frac{9}{4}a & = 76 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4a + 6a + 9a & = 76 \times 4 \\ 19a & = 76 \times 4 \\ a & = \frac{76 \times 4}{19} = 16 \end{align} $
*). Menentukan jumlah kelima sukunya :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n-1)}{r - 1} \\ S_5 & = \frac{16.\left(\left(\frac{3}{2}\right)^5-1\right)}{\frac{3}{2} - 1} \\ & = \frac{16.\left( \frac{243}{32} -1\right)}{\frac{1}{2} } \\ & = \frac{16.\left( \frac{211}{32} \right)}{\frac{1}{2} } \\ & = 16. \frac{211}{32} . \frac{2}{1} = 211 \end{align} $
Jadi, jumlah 5 bilangan tersebut adalah $ 211 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar