Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $ cm. Titik P terletak pada diagonal AC, dengan perbandingan $ AP : PC = 3 : 1 $. Maka jarak titik P pada bidang BDG sama dengan ....
A). $ \frac{a}{6}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{a}{6}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{a}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{a}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{a}{6}\sqrt{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Jarak P ke bidang BDG adalah jarak P ke garis GO = panjang PQ.
-). Panjang AC = diagonal sisi = $ a \sqrt{2} $
-). Panjang OP = PC $ = \frac{1}{4} AC = \frac{1}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang PG $ = \sqrt{PC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{4}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
-). Panjang GO $ = \sqrt{OC^2+CG^2} = \sqrt{( \frac{1}{2}a\sqrt{2})^2+a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} $
*). Luas segitiga POG :
$ \begin{align} Luas \, \Delta POG & = \frac{1}{2} \times PO \times CG \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{4}a\sqrt{2} . a \\ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \end{align} $
*). Luas segitiga POG dengan alas GO dan tinggi PQ :
$ \begin{align} Luas \, \Delta POG & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{2} \times GO \times PQ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{2} .\frac{1}{2}a\sqrt{6}. PQ & = \frac{1}{8}a^2\sqrt{2} \\ \frac{1}{4}a\sqrt{2}. \sqrt{3}. PQ & = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.a^2\sqrt{2} \\ PQ & = \frac{\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.a^2\sqrt{2}}{\frac{1}{4}a\sqrt{2}. \sqrt{3}} \\ & = \frac{a}{2\sqrt{3}} =\frac{a}{6}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{a}{6}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar