Pembahasan Deret Aritmetika UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui jumlah $ n $ bilangan positif genap pertama adalah 650. Dari bilangan-blangan genap tersebut, jumlah tujuh bilangan yang berada di tengah adalah ....
A). $ 168 \, $ B). $ 176 \, $ C). $ 182 \, $ D). $ 190 \, $ E). $ 196 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ U_n = a + (n-1)b $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) $
*). Bilangan positif genap adalah contoh barisan aritmetika dengan beda 2.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). jumlah $ n $ bilangan positif genap pertama adalah 650 :
artinya $ a = 2 $ dan $ b = 2 $
*). Menentukan nilai $ n $ (banyak sukunya) :
$ \begin{align} S_n & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2.2 + (n-1).2) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 4 + 2n - 2) & = 650 \\ \frac{n}{2} ( 2n + 2) & = 650 \\ n( n + 1) & = 650 \\ n^2 + n - 650 & = 0 \\ (n+26)(n-25) & = 0 \\ n = -26 \vee n & = 25 \end{align} $
Karena banyak suku selalu positif, maka $ n = 25 $ yang memenuhi.
*). Untuk mengetahui 7 suku tengah diantara 25 suku yang ada, kita bagi 25 suku menjadi tiga bagian yaitu 9 suku, 7 suku, dan 9 suku, sehingga total sukunya $ 9 + 7 + 9 = 25 \, $ suku. Ini artinya, 7 suku yang ditengah dimulai dari suku ke 10 barisan bilangan genap positif yaitu :
$ U_{10} = a + 9b = 2 + 9.2 = 20 $
Sehingga 7 suku tengahnya yaitu :
20, 22, 24, 26, 28, 30, 32
*). Menentukan jumlah 7 suku tengahnya :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2} ( 2a + (n-1)b) \\ S_7 & = \frac{7}{2} ( 2.20 + 6.2) \\ & = \frac{7}{2} (52) \\ & = 7 . 26 = 182 \end{align} $
Jadi, jumlah tujuh bilangan yang berada di tengah adalah 182 $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar