Pembahasan Luas Integral UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran $ x^2 + y^2 = 1 $ dan parabola $ y = -x^2 + 1 $ sama dengan .... satuan luas.
A). $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \, $
C). $ \frac{\pi}{2} - 1 \, $ D). $ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \, $
E). $ \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ :
Luas $ = \int \limits_a^b f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Perhatikan gambar 3 di atas, daerah yang diarsir yaitu A dan B adalah daerah yang mau kita cari luasnya.
-). Untuk menghitung luas daerah pada gambar 3, kita bagi menjadi dua bagian yaitu daerah P (gambar 1) dan daerah Q (gambar 2), dimana luas daerah A adalah pengurangan luas daerah P dengan daerah Q.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 1 $ memiliki jari-jari 1,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .1^2 = \pi $
-). Luas daerah P $ = \frac{1}{4} \, $ luas lingkaran $ = \frac{\pi}{4} $
-). Luas daerah Q : dibatasai oleh kurva $ y = -x^2 + 1 $
$ \begin{align} & = \int \limits_0^1 (-x^2 + 1) dx \\ & = [ -\frac{1}{3}x^3 + x ]_0^1 \\ & = (-\frac{1}{3}.1^3 + 1 ) - 0 = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas daerah A :
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \text{ Luas P } - \text{ Luas Q} \\ & = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} \end{align} $
*). Luas A sama dengan Luas B, sehingga :
$ \begin{align} \text{Luas Arsir } & = 2\times \text{ Luas A} \\ & = 2\times (\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3} ) \\ & = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar