Pembahasan Komposisi Fungsi SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \, $ dan $ g(x) = 10 - x^2 $, maka himpunan bilangan real yang memenuhi $ (f \circ g)(x) > -2 $ adalah ....
A). $ \{ x | x < - 3 \} \cup \{ x | x > 3 \} \, $
B). $ \{ x | x \leq - 3 \} \cup \{ x | x \geq 3 \} \, $
C). $ \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} \, $
D). $ \{ x | -3 < x \leq 3 \} \, $
E). $ \{ x | -3 \leq x < 3 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Komposisi fungsi :
$ (f \circ g )(x) = f(g(x)) $
(fungsi kanan masuk ke fungsi kiri)
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan yaitu :
i). Nolkan ruas kanan,
ii). Samakan penyebut dan operasikan kedua pecahan,
iii). Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya,
iv). Buat garis bilangan, dan tentukan tanda setiap daerah (+ atau -),
v). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk pecahan adalah akar penyebutnya tidak boleh menjadi solusi (tidak ikut) karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan komposisi fungsi $ (f \circ g )(x) $
$ \begin{align} (f \circ g )(x) & = f( g(x)) \\ & = f(10 - x^2) \\ & = \frac{1}{\sqrt{1-(10 - x^2)}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} \end{align} $
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya
$ \begin{align} (f \circ g )(x) & > -2 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} & > -2 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} + 2 & > 0 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} + \frac{2\sqrt{x^2 - 9}}{\sqrt{x^2 - 9}} & > 0 \\ \frac{2\sqrt{x^2 - 9} + 1}{\sqrt{x^2 - 9}} & > 0 \end{align} $
*). Perhatikan bentuk $ \frac{2\sqrt{x^2 - 9} + 1}{\sqrt{x^2 - 9}} $, nilainya selalu positif sehingga selalu memenuhi pertidaksamaan. Tinggal kita cari syarat bentuk akar dan syarat penyebutnya saja.
*). Syarat-syarat bentuk akar dan penyebutnya :
$ \sqrt{x^2 - 9} \geq 0 \rightarrow x^2 - 9\geq 0 \rightarrow (x-3)(x+3) \geq 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -3 $
penyebutnya : $ \sqrt{x^2 - 9} \neq 0 \rightarrow x^2 - 9 \neq 0 \rightarrow x \neq -3 \vee x \neq 3 $.
garis bilangannya :

Himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -3 \vee x > 3 \} $.
Jadi, himpunannya adalah $ \{ x | x < - 3 \} \cup \{ x | x > 3 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar