Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 345

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^2 + ax + b $. Jika $ f(3) = 1 $, dan $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} = \frac{1}{2} $, maka $ a + b = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dalil L'Hopital (penggunaan turunan pada limit)
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ , maka solusinya
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsinya : $ f(x) = x^2 + ax + b \rightarrow f^\prime (x) = 2x + a $
-). Persamaan pertama
$ \begin{align} f(3) & = 1 \\ 3^2 + a.3 + b & = 1 \\ 9 + 3a + b & = 1 \\ 3a + b & = -8 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan Kedua :
Perhatikan limitnya : $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} = \frac{3 - 3}{f(3) - f(3)} = \frac{0}{0} $
Artinya limitnya diselesaikan dengan dalil L'Hopital karena hasilnya $ \frac{0}{0} $.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{f(x) - f(3)} & = \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(Turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{f^\prime (x) } & = \frac{1}{2} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{2x + a} & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2.3 + a} & = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6 + a} & = \frac{1}{2} \\ 6 + a & = 2 \\ a & = -4 \end{align} $
Dari pers(i) : $ 3a + b = -8 \rightarrow 3.(-4) + b = -8 \rightarrow b = 4 $.
Sehingga nilai $ a + b = -4 + 4 = 0 $.
Jadi, nilai $ a + b = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar