Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 346

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f $ adalah fungsi kuadrat dengan $ f(0) = 8 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{x + 2} = 2 $, maka $ f(1) = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 19 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Fungsi
*). Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \, $ angka dan $ g(k) = 0 \, $ , maka haruslah $ f(k) = 0 $. Sehingga bentukya $ \frac{0}{0} \, $ yang biasa disebut bentuk tak tentu.
*). Aplikasi turuna pada limit (Dalil L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsinya adalah $ f(x) = ax^2 + bx + c $
*). Menentukan $ c $ dengan $ f(0) = 8 $ :
$ \begin{align} f(x) & = ax^2 + bx + c \\ f(0) & = 8 \\ a.0^2 + b.0 + c & = 8 \\ c & = 8 \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = ax^2 + bx + 8 $
dengan turunannya : $ f^\prime (x) = 2ax + b $
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama
$ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{x + 2} = 2 \rightarrow \frac{f(-2)}{0} = 2 $
Haruslah $ f(-2) = 0 \, $ (berdasarkan konsep dasar limit), sehingga
$ \begin{align} f(x) & = ax^2 + bx + 8 \\ f(-2) & = 0 \\ a.(-2)^2 + b.(-2) + 8 & = 0 \\ 4a - 2b & = -8 \\ 2a - b & = -4 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua :
Karena limitnya bentuk tak tentu, maka limitnya dapat diselesaikan dengan turunan :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{x + 2} & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2 \\ \displaystyle \lim_{x \to -2} ( 2ax + b ) & = 2 \\ 2a.(-2) + b & = 2 \\ -4a + b & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $

*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2a - b = -4 & \\ -4a + b = 2 & + \\ -2a = -2 & \\ a = 1 \end{array} $
Pers(i) : $ 2a - b = -4 \rightarrow 2.1 - b = -4 \rightarrow b = 6 $.
Artinya fungsinya menjadi : $ f(x) = ax^2 + bx + 8 = x^2 + 6x + 8 $.
*). Menentukan nilai $ f(1) $ :
$ f(1) = 1^2 + 6.1 + 8 = 1 + 6 + 8 = 15 $.
Jadi, nilai $ f(1) = 15. \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar