Pembahasan Trigonometri UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan \beta > 0 $ , $ \tan 2\beta = - \frac{4}{3} $ dan $ \tan (\alpha - \beta ) = 1 $ , maka $ \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta = .... $
A). $ 13 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ \frac{13}{36} \, $ D). $ -\frac{5}{36} \, $ E). $ -5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan 2\beta = \frac{2\tan \beta}{1 - \tan ^2 \beta} $ dan
$ \tan (\alpha - \beta ) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan \beta $ dengan $ \tan \beta > 0 $ :
$ \begin{align} \tan 2\beta & = - \frac{4}{3} \\ \frac{2\tan \beta}{1 - \tan ^2 \beta} & = - \frac{4}{3} \\ \frac{\tan \beta}{1 - \tan ^2 \beta} & = - \frac{2}{3} \\ -2(1 - \tan ^2 \beta) & = 3\tan \beta \\ 2\tan ^2 \beta - 2 & = 3\tan \beta \\ 2\tan ^2 \beta - 3\tan \beta - 2 & = 0 \\ (2\tan \beta +1)(\tan \beta - 2) & = 0 \\ \tan \beta = -\frac{1}{2} \vee \tan \beta & = 2 \end{align} $
Yang memenuhi adalah $ \tan \beta = 2 $.
*). Menentukan nilai $ \tan \alpha $ :
$ \begin{align} \tan (\alpha - \beta ) & = 1 \\ \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 + \tan \alpha . \tan \beta } & = 1 \\ \frac{ \tan \alpha - 2 }{1 + \tan \alpha . 2 } & = 1 \\ \frac{ \tan \alpha - 2 }{1 + 2\tan \alpha } & = 1 \\ \tan \alpha - 2 & = 1 + 2\tan \alpha \\ - \tan \alpha & = 3 \\ \tan \alpha & = - 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta $ :
$ \begin{align} \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta & = (-3)^2 - 2^2 \\ & = 9 - 4 = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar