Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian pertaksamaan $ 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 < 0 $ adalah ....
A). $ x < -1 + {}^2 \log 5 \, $
B). $ x < 2 + {}^2 \log 5 \, $
C). $ x < 1 + {}^2 \log 5 \, $
D). $ x < 1 - 2 \, {}^2 \log 5 \, $
E). $ x < 1 + 2 \, {}^2 \log 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat Eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). SIfat logaritma : $ {}^a \log b.c = {}^a log b + {}^a \log c $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $ atau $ a^c = b \rightarrow c = {}^a \log b $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar,
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diinginkan,
Jika $ > 0 $ , maka arsir positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x > 0 \, $ (positif)
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 & < 0 \\ \frac{4^x}{4^1} - 6. \frac{2^x}{2^2} - 10 & < 0 \\ \frac{(2^x)^2}{4} - 6. \frac{2^x}{4} - 10 & < 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (2^x)^2 - 6. 2^x - 40 & < 0 \\ p^2 - 6p - 40 & < 0 \\ (p+4)(p-10) & < 0 \\ p = -4 \vee p & = 10 \\ p = -4 \rightarrow 2^x & = -4 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p = 10 \rightarrow 2^x & = 10 \\ x & = {}^2 \log 10 \\ & = {}^2 \log 2 \times 5 \\ & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 \\ & = 1 + {}^2 \log 5 \end{align} $
Garis bilangannya .
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya daerah yang negatif.
Sehingga solusinya : $ x < 1 + {}^2 \log 5 $ .
Jadi, penyelesaiannya adalah $ x < 1 + {}^2 \log 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar