Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah 27 dan jumlah lima buah suku pertama barisan tersebut adalah 85, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 33 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 17 \, $ D). $ 41 \, $ E). $ 49 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus $ S_n $ :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
dengan $ S_n = \, $ jumlah $ n $ suku pertama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika = 27
$ \begin{align} S_3 & = 27 \\ \frac{3}{2}(2a + (3-1)b) & = 27 \\ \frac{3}{2}(2a + 2b) & = 27 \\ 3(a + b) & = 27 \\ a + b & = 9 \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). jumlah lima buah suku pertama barisan = 85
$ \begin{align} S_5 & = 85 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1)b) & = 85 \\ \frac{5}{2}(2a + 4b) & = 85 \\ 5(a + 2b) & = 85 \\ a + 2b & = 17 \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 2b = 17 & \\ a + b = 9 & - \\ \hline b = 8 & \end{array} $
Pers(i) : $ a + b = 9 \rightarrow a + 8 = 9 \rightarrow a = 1 $
*). Menentukan suku ke-4 :
$ \begin{align} U_4 & = a + 3b \\ & = 1 + 3 \times 8 \\ & = 1 + 24 = 25 \end{align} $
Jadi, suku ke-4 adalah $ 25 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar