Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ dan
$ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ , dengan $ b < 0 $. Jika asimtot-asimtot
tegak grafik fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan dari salah satu asimtot tegak
grafik fungsi $ f $, maka $ (b + c) $ yang mungkin adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
Sehingga bentuk $ x^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = -b \rightarrow b = -(x_1 + x_2) $
$ x_1. x_2 = c \rightarrow c = x_1.x_2 $
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 $
Catatan : Pada soal ini, kita tidak menggunakan konsep SPLDV.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
Sehingga bentuk $ x^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = -b \rightarrow b = -(x_1 + x_2) $
$ x_1. x_2 = c \rightarrow c = x_1.x_2 $
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 $
Catatan : Pada soal ini, kita tidak menggunakan konsep SPLDV.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ :
Perhatikan penyebutnya : $ x^2 + x $ , akar-akarnya
$ x^2 + x = 0 \rightarrow x(x+1) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -1 $.
Artinya asimtot tegak dari $ f $ adalah $ x = -1 $ dan $ x = 0 $.
*). Perhatikan fungsi $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ dengan $ b < 0 $.
Misalkan asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = x_1 $ dan $ x = x_2 $, dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar dari $ x^2 + bx + c = 0 $. Karena $ b < 0 $ , maka $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-b}{1} = -b > 0 $. Artinya kita harus mencari $ x_1 + x_2 > 0 $.
*). Jarak asimtot-asimtot fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan terhadap salah satu asimtot fungsi $ f $, sehingga kita bagi kasusnya menjadi dua untuk asimtot fungsi $ f $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 0 $ :
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = -1 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = -1 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ hanyalah $ x_1 = 0 $ dan $ x_2 = 1 $, artinya asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = 0 $ dan $ x = 1 $, sehingga nilai :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(0+1) + 0.1 = -1 $
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = 0 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = 0 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ ada dua kemungkinan yaitu :
i). asimtot $ g $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(-1 + 2) + (-1).2 = -3 $
ii). asimtot $ g $ yaitu $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(1 + 2) + 1.2 = -1 $
Jadi, nilai $ b + c $ yang mungkin adalah $ -3 $ atau $ - 1 . \, \heartsuit $
Jawabannya C atau E.
*). Menentukan persamaan asimtot $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ :
Perhatikan penyebutnya : $ x^2 + x $ , akar-akarnya
$ x^2 + x = 0 \rightarrow x(x+1) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -1 $.
Artinya asimtot tegak dari $ f $ adalah $ x = -1 $ dan $ x = 0 $.
*). Perhatikan fungsi $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ dengan $ b < 0 $.
Misalkan asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = x_1 $ dan $ x = x_2 $, dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar dari $ x^2 + bx + c = 0 $. Karena $ b < 0 $ , maka $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-b}{1} = -b > 0 $. Artinya kita harus mencari $ x_1 + x_2 > 0 $.
*). Jarak asimtot-asimtot fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan terhadap salah satu asimtot fungsi $ f $, sehingga kita bagi kasusnya menjadi dua untuk asimtot fungsi $ f $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 0 $ :
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = -1 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = -1 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ hanyalah $ x_1 = 0 $ dan $ x_2 = 1 $, artinya asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = 0 $ dan $ x = 1 $, sehingga nilai :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(0+1) + 0.1 = -1 $
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = 0 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = 0 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ ada dua kemungkinan yaitu :
i). asimtot $ g $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(-1 + 2) + (-1).2 = -3 $
ii). asimtot $ g $ yaitu $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(1 + 2) + 1.2 = -1 $
Jadi, nilai $ b + c $ yang mungkin adalah $ -3 $ atau $ - 1 . \, \heartsuit $
Jawabannya C atau E.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.