Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $. Jika $ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a}.\vec{b} $ dan $ (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| $, maka sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah ......
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 90^\circ \, $ E). $ 120^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} $
*). Rumus pangkat dua aljabar :
$ ( x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan pertama :
$\begin{align} (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| - 2|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Mengubah persamaan kedua dan gunakan pers(i) :
$\begin{align} |\vec{a}+\vec{b}|^2 & = \vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} & = \vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \vec{a}.\vec{b} - 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = -\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = -|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}| & = -|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{1}{2} & = - \cos \theta \\ -\frac{1}{2} & = \cos \theta \\ \theta & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, sudutnya adalah $ 120^\circ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar