Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{2-2x} $ yang melalui titik $ (1,-1) $ adalah ......
A). $ x - 8y - 9 = 0 \, $
B). $ x + 4y + 3 = 0 \, $
C). $ 2x - 8y - 10 = 0 \, $
D). $ x + 8y + 7 = 0 \, $
E). $ x - 4y - 5 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi bentuk pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = (a,b) $
*). Substitusi $ (a,b) $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{2-2x} \rightarrow b = \frac{a}{2 - 2a} \rightarrow b = \frac{a}{2(1 - a) } \end{align} $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{2-2x} = \frac{U}{V} \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = 2 - 2x \rightarrow V^\prime = -2 \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{1 . (2 - 2x) - x . (-2) }{(2 - 2x)^2} \\ y^\prime & = \frac{2}{(2-2x)^2} = \frac{2}{4(1 - x)^2} = \frac{1}{2(1-x)^2} \\ m & = f^\prime (a) = \frac{1}{2(1-a)^2} = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - b & = m(x - a) \\ y - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (x - a) \end{align} $
*). Substitusi titik $ (1,-1) $ yang dilalui oleh garis singgungnya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (x - a) \\ -1 - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (1 - a) \\ -1 - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)} \, \, \, \, \, \, \text{[kali } 2(1-a)] \\ -2(1-a) - a & = 1 \\ -2 + 2a - a & = 1 \\ a & = 3 \end{align} $
*). Substitusi $ a = 3 $ ke PGS nya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{2(1 - a) } & = \frac{1}{2(1-a)(1-a)} (x - a) \\ y - \frac{3}{2(1 - 3) } & = \frac{1}{2(1-3)(1-3)} (x - 3) \\ y + \frac{3}{4} & = \frac{1}{8} (x - 3) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 8)} \\ 8y + 6 & = x - 3 \\ x - 8y - 9 & = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x - 8y - 9 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar