Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 124

Soal yang Akan Dibahas
Suatu hiperbola mempunyai dua asimtot yang saling tegak lurus. Titik potong kedua asimtot tersebut dengan sumbu Y adalah (0,1) dan (0,3). Persamaan hiperbola tersebut adalah .....
A). $ -(x-1)^2 + (y - 2)^2 = 1 \, $
B). $ -(x+1)^2 + (y + 2)^2 = 1 \, $
C). $ (x+1)^2 - (y + 2)^2 = 1 \, $
D). $ \frac{(x-1)^2}{3} - \frac{(y-2)^2}{3} = 1 \, $
E). $ \frac{(x+1)^2}{3} - \frac{(y-2)^2}{3} = 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan hiperbola dan asimtotnya
-). Pertama : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
-). Kedua : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
*). syarat Dua garis tegak lurus $ m_1 . m_2 = -1 $
*). Gradien garis $ y = cx + d \, $ memiliki gradien $ m = c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk persamaan asimtot Pertama :
$ y-q = \frac{b}{a} (x-p) \, $ atau $ y-q = - \frac{b}{a} (x-p) $
dengan $ m_1 = \frac{b}{a} \, $ dan $ m_2 = -\frac{b}{a} $
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . -\frac{b}{a} = -1 \rightarrow a = b $
*). Untuk persamaan asimtot kedua :
$ y-q = \frac{a}{b} (x-p) \, $ atau $ y-q = - \frac{a}{b} (x-p) $
dengan $ m_1 = \frac{a}{b} \, $ dan $ m_2 = -\frac{a}{b} $
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{a}{b} . -\frac{a}{b} = -1 \rightarrow a = b $
*). Karena $ a = b $ , maka persamaan asimtot yang kita peroleh sama dari kedua bentuk di atas yaitu $ y-q = (x-p) \, $ atau $ y-q = - (x-p) $ , ini artinya bentuk persamaan hiperbolanya juga bisa kedua-duanya berlaku yaitu $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ atau $ - \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Misalkan $ a^2 = b^2 = k $ , sehingga persamaan hiperbolanya yaitu :
$ \frac{(x-p)^2}{k} - \frac{(y-q)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x-p)^2}{k} + \frac{(y-q)^2}{k} = 1 $.
dengan $ k $ biilangan real.

*). Menentukan nilai $ p $ dan $ q $ berdasarkan titik potong asimtot terhadap sumbu Y.
-). Persamaan asimtotnya : $ y-q = (x-p) \, $ atau $ y-q = - (x-p) $
Kemungkinan Pertama :
-). Substitusi titik (0,1) ke $ y-q = (x-p) $,
$ y-q = (x-p) \rightarrow 1-q = (0-p) \rightarrow q - p = 1 \, $ ....(i)
-). Substitusi titik (0,3) ke $ y-q = -(x-p) $,
$ y-q = -(x-p) \rightarrow 3-q = -(0-p) \rightarrow q + p = 3 \, $ ....(ii)
Dari pers(i) dan (ii) ini kita peroleh nilai $ p = 1 $ dan $ q = 2 $, sehingga persamaan hiperbolanya :
$ \frac{(x-1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x-1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.
Kemungkinan Kedua :
-). Substitusi titik (0,1) ke $ y-q = -(x-p) $,
$ y-q = -(x-p) \rightarrow 1-q = -(0-p) \rightarrow q + p = 1 \, $ ....(iii)
-). Substitusi titik (0,3) ke $ y-q = (x-p) $,
$ y-q = (x-p) \rightarrow 3-q = (0-p) \rightarrow q - p = 3 \, $ ....(iv)
Dari pers(iii) dan (iv) ini kita peroleh nilai $ p = -1 $ dan $ q = 2 $, sehingga persamaan hiperbolanya :
$ \frac{(x+1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x+1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.

*). Kita peroleh persamaan hiperbola yang memenuhi syarat pada soal yaitu :
$ \frac{(x-1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x-1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.
$ \frac{(x+1)^2}{k} - \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $ atau $ - \frac{(x+1)^2}{k} + \frac{(y-2)^2}{k} = 1 $.
Dengan $ k $ adalah sembarang bilangan real, misalkan kita ilih $ k = 1 $ dan $ k = 3 $ , maka jawaban yang memenuhi adalah Opsion A, D, dan E.
Jadi, jawaban yang memenuhi adalah A, D, dan E$ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar