Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu Y di titik $ (0,1) $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{f(x)} = \frac{1}{4} $, maka $ a + c = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ .
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g^\prime (x)}{f^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (0,1) $ ke fungsi $ y = f(x) = ax^2+bx + c $ :
$ y = ax^2+bx + c \rightarrow 1 = a.0^2+b.0 + c \rightarrow 1 = c $
sehingga $ f(x) = ax^2 + bx + 1 $
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{f(x)} = \frac{1}{4} $ dengan pembilang bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 1 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(1) = 0 $ dengan $ f(x) = ax^2 + bx + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + b $.
$ f(1) = 0 \rightarrow a.1^2 + b.1 + 1 = 0 \rightarrow a + b = -1 \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{f(x)} & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-1}{f^\prime (x)} & = \frac{1}{4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{-1}{2ax + b} & = \frac{1}{4} \\ \frac{-1}{2a.1 + b} & = \frac{1}{4} \\ \frac{-1}{2a + b} & = \frac{1}{4} \\ 2a + b & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2a + b = -4 & \\ a + b = -1 & - \\ \hline a = -3 & \end{array} $
pers(i): $ a + b = -1 \rightarrow -3 + b = -1 \rightarrow b = 2 $.
Sehinga nilai $ a + c = -3 + 1 = -2 $
Jadi, nilai $ a + c = -2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar