Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 135

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \cot \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin a f(y)}{\sin bf(y)} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus dasar trigonometri : $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \cot \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x . \frac{ \cos \left( \frac{1}{x} \right) }{\sin \left( \frac{1}{x} \right)} . \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \cos \left( \frac{1}{x} \right) . \sin \left( \frac{1}{x^2} \right) }{\frac{1}{x} . \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \cos y . \sin y^2 }{y . \sin y} \times \frac{y}{y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ y\cos y . \sin y^2 }{y^2 . \sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ y}{\sin y} . \frac{\sin y^2 }{y^2} . \cos y \\ & = 1.1 . \cos 0 = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar