Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = \frac{(x^2+2bx+b^2)(x-a)}{(x^2-a^2)(x^2+2)} $ , dengan $ a \neq 0 $,
tidak mempunyai asimtot tegak, maka kurva $ y=\frac{(a+2b)x^2-7a}{(a-2b)x^2+7b} $
mempunyai asimtot datar ......
A). $ y = 6 \, $ B). $ y = 3 \, $ C). $ y = 2 \, $
D). $ y = -3 \, $ E). $ y = -5 $
A). $ y = 6 \, $ B). $ y = 3 \, $ C). $ y = 2 \, $
D). $ y = -3 \, $ E). $ y = -5 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.
*). Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ tidak memiliki asimtot tegak tiga penyebutnya tidak memiliki faktor linear atau tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan penyebutnya bernilai nol.
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.
*). Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ tidak memiliki asimtot tegak tiga penyebutnya tidak memiliki faktor linear atau tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan penyebutnya bernilai nol.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Penyederhanaan fungsi kurva awal :
$\begin{align} y & = \frac{(x^2+2bx+b^2)(x-a)}{(x^2-a^2)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)^2(x-a)}{(x-a)(x+a)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)^2 }{ (x+a)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)(x+b) }{ (x+a)(x^2+2)} \end{align} $
Agar $ y = \frac{(x+b)(x+b) }{ (x+a)(x^2+2)} \, $ tidak mempunyai faktor linear pada penyebutnya, maka $ (x + a) $ harus bisa kita coret dengan faktor pembilanganya. Bentuk $ (x + a) $ bisa kita coret jiga nilanya sama dengan faktor pembilangnya yaitu $ (x+b) $ , sehingga $ a = b $.
*). Persamaan asimtot mendatar kurva kedua dengan $ a = b $ :
$\begin{align} y & = \lim_{x \to \infty } \frac{(a+2b)x^2-7a}{(a-2b)x^2+7b} \\ y & = \lim_{x \to \infty } \frac{(a+2a)x^2-7a}{(a-2a)x^2+7a} \\ & = \lim_{x \to \infty } \frac{3ax^2-7a}{-ax^2+7a} \\ & = \frac{3a}{-a } \\ y & = -3 \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -3 . \, \heartsuit $
*). Penyederhanaan fungsi kurva awal :
$\begin{align} y & = \frac{(x^2+2bx+b^2)(x-a)}{(x^2-a^2)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)^2(x-a)}{(x-a)(x+a)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)^2 }{ (x+a)(x^2+2)} \\ y & = \frac{(x+b)(x+b) }{ (x+a)(x^2+2)} \end{align} $
Agar $ y = \frac{(x+b)(x+b) }{ (x+a)(x^2+2)} \, $ tidak mempunyai faktor linear pada penyebutnya, maka $ (x + a) $ harus bisa kita coret dengan faktor pembilanganya. Bentuk $ (x + a) $ bisa kita coret jiga nilanya sama dengan faktor pembilangnya yaitu $ (x+b) $ , sehingga $ a = b $.
*). Persamaan asimtot mendatar kurva kedua dengan $ a = b $ :
$\begin{align} y & = \lim_{x \to \infty } \frac{(a+2b)x^2-7a}{(a-2b)x^2+7b} \\ y & = \lim_{x \to \infty } \frac{(a+2a)x^2-7a}{(a-2a)x^2+7a} \\ & = \lim_{x \to \infty } \frac{3ax^2-7a}{-ax^2+7a} \\ & = \frac{3a}{-a } \\ y & = -3 \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -3 . \, \heartsuit $
