Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 931

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^3 \log (x^2+4x) \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} $ adalah .......
A). $ x > -5 \, $ atau $ x < 1 $
B). $ -5 \leq x \leq 1 \, $
C). $ -5 < x < 1 \, $
D). $ x \leq -5 \, $ atau $ x \geq 1 $
E). $ -1 \leq x \, $ atau $ x \geq 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
Bentuk $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log b $ memiliki solusi :
-). Solusi umumnya : kita peroleh HP1.
Jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) \geq b \, $ (tanda ketaksamaan tetap)
Jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) \leq b \, $ (tanda ketaksamaan dibalik)
-). Solusi syarat $ f(x) > 0 $ (HP2).
Solusi totalnya :
$ HP = HP1 \cap HP2 \, $ (diiriskan)
*). Sifat logaritma : $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Soalnya : $ {}^3 \log (x^2+4x) \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} $ :
*). Solusi syaratnya :
$ (x^2+4x) > 0 \rightarrow x(x+4) > 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -4 $
Garis bilangan pertama : 


HP1 $ = \{ x < -4 \vee x > 0 \} $
*).Solusi umum:
$\begin{align} {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^\frac{1}{3} \log \frac{1}{5} \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^{3^{-1}} \log 5^{-1} \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq \frac{-1}{-1} . {}^3 \log 5 \\ {}^3 \log (x^2+4x) & \geq {}^3 \log 5 \\ (x^2+4x) & \geq 5 \\ x^2+4x - 5 & \geq 0 \\ (x + 5)(x-1) & \geq 0 \\ x = -5 \vee x & = 1 \end{align} $
garis bilangan kedua : 


HP2 $ = \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$ \begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x < -4 \vee x > 0 \} \cap \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} \\ & = \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ x \leq -5 \vee x \geq 1 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar