Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $( \frac{0}{0}) $ , salah satunya dengan kalika bentuk sekawannya.
*). Bentuk perkalian akar :
$ (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2 $
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = (x^3 - y^3) $ sehingga :
misalkan $ x = \sqrt[3]{a} $ dan $ y = b $ , maka
$ (\sqrt[3]{a} - b)((\sqrt[3]{a})^2 + b\sqrt[3]{a} + b^2) = a - b^3 $
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $( \frac{0}{0}) $ , salah satunya dengan kalika bentuk sekawannya.
*). Bentuk perkalian akar :
$ (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2 $
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = (x^3 - y^3) $ sehingga :
misalkan $ x = \sqrt[3]{a} $ dan $ y = b $ , maka
$ (\sqrt[3]{a} - b)((\sqrt[3]{a})^2 + b\sqrt[3]{a} + b^2) = a - b^3 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2}{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{2 + \sqrt[3]{x} - 4}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \times \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 2^3}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 8}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{8}} + 2)((\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + 2} + 2)((2)^2 + 2.2 + 4)} \\ & = \frac{1}{( 2 + 2)(4 + 4 + 4)} \\ & = \frac{1}{(4)(12)} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2}{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{2 + \sqrt[3]{x} - 4}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \times \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 2^3}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 8}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{8}} + 2)((\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + 2} + 2)((2)^2 + 2.2 + 4)} \\ & = \frac{1}{( 2 + 2)(4 + 4 + 4)} \\ & = \frac{1}{(4)(12)} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.