Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a_1, a_2, a_3, ... , a_n $ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi
$ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ , maka nilai
$ a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = ... $
A). $ 44 \, $ B). $ 45 \, $ C). $ 46 \, $ D). $ 47 \, $ E). $ 48 $
A). $ 44 \, $ B). $ 45 \, $ C). $ 46 \, $ D). $ 47 \, $ E). $ 48 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep Basis Bilangan :
*). Bilangan yang biasa kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam bentuk basis 10. Contoh sederhana : 123 adalah bentuk basis 10 yang bisa kita tulis $ [123]_{10} $ yang dapat kita jabarkan menjadi :
$ [123]_{10} = 1\times 10^2 + 2\times 10^1 + 3 \times 10^0 = 10^2 + 2 \times 10 + 3 $ .
Selain bentuk basis 10, ternyata masih ada bentuk basis lainnya dimana bisa saling kita konversikan, misalnya basis 10 bisa kita konversikan ke basis 2 atau basis lainnya.
*). Bentuk umum basis bilangan :
$ [a_na_{n-1}...a_2a_1a_0]_b = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 $
dengan $ a_n, a_{n-1}, ..., a_3,a_2,a_1,a_0 $ semuanya kurang dari $ b $.
Contoh 1 :
$ [101101]_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 +1 \times 2^2 +0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 $ $ [101101]_2 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 $
artinya $ [101101]_2 = [45]_{10} $
*). Cara mengubah basis 10 ke basis lain yaitu dengan cara dibagi dan kita daftarkan sisa pembagiannya.
Contoh :
bilangan $ 45 $ akan kita ubah menjadi basis 2 yaitu $ [45]_{10} = [.....]_2 $
Jawab:
-). karena akan diubah ke basis 2, maka kita bagi 2 bilangan 45.
$ 45 : 2 \rightarrow $ hasil = 22 dan sisa = 1
$ 22 : 2 \rightarrow $ hasil = 11 dan sisa = 0
$ 11 : 2 \rightarrow $ hasil = 5 dan sisa = 1
$ 5 : 2 \rightarrow $ hasil = 2 dan sisa = 1
$ 2 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 0
Urutan penulisannya adalah hasil terakhir dilanjutkan dengan sisa dari paling bawah, sehingga hasilnya :
$ [45]_{10} = [101101]_2 $
Catatan : Seingat saya materi ini dipelajari bagi siswa yang mau ikut olimpiade matematika.
*). Konsep Basis Bilangan :
*). Bilangan yang biasa kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam bentuk basis 10. Contoh sederhana : 123 adalah bentuk basis 10 yang bisa kita tulis $ [123]_{10} $ yang dapat kita jabarkan menjadi :
$ [123]_{10} = 1\times 10^2 + 2\times 10^1 + 3 \times 10^0 = 10^2 + 2 \times 10 + 3 $ .
Selain bentuk basis 10, ternyata masih ada bentuk basis lainnya dimana bisa saling kita konversikan, misalnya basis 10 bisa kita konversikan ke basis 2 atau basis lainnya.
*). Bentuk umum basis bilangan :
$ [a_na_{n-1}...a_2a_1a_0]_b = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} + ... + a_2 \times b^2 + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0 $
dengan $ a_n, a_{n-1}, ..., a_3,a_2,a_1,a_0 $ semuanya kurang dari $ b $.
Contoh 1 :
$ [101101]_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 +1 \times 2^2 +0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 $ $ [101101]_2 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 $
artinya $ [101101]_2 = [45]_{10} $
*). Cara mengubah basis 10 ke basis lain yaitu dengan cara dibagi dan kita daftarkan sisa pembagiannya.
Contoh :
bilangan $ 45 $ akan kita ubah menjadi basis 2 yaitu $ [45]_{10} = [.....]_2 $
Jawab:
-). karena akan diubah ke basis 2, maka kita bagi 2 bilangan 45.
$ 45 : 2 \rightarrow $ hasil = 22 dan sisa = 1
$ 22 : 2 \rightarrow $ hasil = 11 dan sisa = 0
$ 11 : 2 \rightarrow $ hasil = 5 dan sisa = 1
$ 5 : 2 \rightarrow $ hasil = 2 dan sisa = 1
$ 2 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 0
Urutan penulisannya adalah hasil terakhir dilanjutkan dengan sisa dari paling bawah, sehingga hasilnya :
$ [45]_{10} = [101101]_2 $
Catatan : Seingat saya materi ini dipelajari bagi siswa yang mau ikut olimpiade matematika.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatika bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $, yang artinya kita harus mengubah angka 2018 ke dalam bentuk basis 2.
*). Proses mengubah 2018 ke dalam bentuk basis 2 :
$ 2018 : 2 \rightarrow $ hasil = 1009 dan sisa = 0
$ 1009 : 2 \rightarrow $ hasil = 504 dan sisa = 1
$ 504 : 2 \rightarrow $ hasil = 252 dan sisa = 0
$ 252 : 2 \rightarrow $ hasil = 126 dan sisa = 0
$ 126 : 2 \rightarrow $ hasil = 63 dan sisa = 0
$ 63 : 2 \rightarrow $ hasil = 31 dan sisa = 1
$ 31 : 2 \rightarrow $ hasil = 15 dan sisa = 1
$ 15 : 2 \rightarrow $ hasil = 7 dan sisa = 1
$ 7 : 2 \rightarrow $ hasil = 3 dan sisa = 1
$ 3 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 1
Sehingga hasilnya : $ 2018 = [11111100010]_2 $
*). Kita ubah menjadi bentuk pangkat :
$ \begin{align} 2018 & = [11111100010]_2 \\ 2018 & = 1 \times 2^{10} + 1 \times 2^9 + 1 \times 2^8+ 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 \\ & = + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 0 + 0 + 0 + 2^1 + 0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^1 \end{align} $
*). Sesuai bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ dan bentuk pangkat di atas, maka kita peroleh :
$ a_1 = 10, a_2 = 9 , a_3 = 8 , a_4 = 7, a_5 = 6 , a_6 = 5, a_7 = 1 $
*). Menentukan jumlah pangkatnya :
$ \begin{align} \text{jumlah pangkatnya } & = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 46 \end{align} $
Jadi, jumlah pangkatnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $
*). Perhatika bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $, yang artinya kita harus mengubah angka 2018 ke dalam bentuk basis 2.
*). Proses mengubah 2018 ke dalam bentuk basis 2 :
$ 2018 : 2 \rightarrow $ hasil = 1009 dan sisa = 0
$ 1009 : 2 \rightarrow $ hasil = 504 dan sisa = 1
$ 504 : 2 \rightarrow $ hasil = 252 dan sisa = 0
$ 252 : 2 \rightarrow $ hasil = 126 dan sisa = 0
$ 126 : 2 \rightarrow $ hasil = 63 dan sisa = 0
$ 63 : 2 \rightarrow $ hasil = 31 dan sisa = 1
$ 31 : 2 \rightarrow $ hasil = 15 dan sisa = 1
$ 15 : 2 \rightarrow $ hasil = 7 dan sisa = 1
$ 7 : 2 \rightarrow $ hasil = 3 dan sisa = 1
$ 3 : 2 \rightarrow $ hasil = 1 dan sisa = 1
Sehingga hasilnya : $ 2018 = [11111100010]_2 $
*). Kita ubah menjadi bentuk pangkat :
$ \begin{align} 2018 & = [11111100010]_2 \\ 2018 & = 1 \times 2^{10} + 1 \times 2^9 + 1 \times 2^8+ 1 \times 2^7 + 1 \times 2^6 + 1 \times 2^5 \\ & = + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 0 + 0 + 0 + 2^1 + 0 \\ 2018 & = 2^{10} + 2^9 + 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^1 \end{align} $
*). Sesuai bentuk $ 2^{a_1} + 2^{a_2} + 2^{a_3} + ... + 2^{a_n} = 2018 $ dan bentuk pangkat di atas, maka kita peroleh :
$ a_1 = 10, a_2 = 9 , a_3 = 8 , a_4 = 7, a_5 = 6 , a_6 = 5, a_7 = 1 $
*). Menentukan jumlah pangkatnya :
$ \begin{align} \text{jumlah pangkatnya } & = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 1 = 46 \end{align} $
Jadi, jumlah pangkatnya adalah $ 46 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.