Soal yang Akan Dibahas
Diketahui grafik fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ memotong sumbu X di titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ untuk suatu
bilangan prima $ p $. Jika $ p + 3 $ juga merupakan suatu bilangan prima, maka nilai maksimum dari $ f(x) $ adalah ...
A). $ \frac{49}{2} \, $ B). $ \frac{49}{4} \, $ C). $ 10 \, $ D). $ -\frac{49}{4} \, $ E). $ -\frac{49}{2} $
A). $ \frac{49}{2} \, $ B). $ \frac{49}{4} \, $ C). $ 10 \, $ D). $ -\frac{49}{4} \, $ E). $ -\frac{49}{2} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$ f_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Titik potong sumbu X maka substitusi $ y = 0 $.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$ f_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Titik potong sumbu X maka substitusi $ y = 0 $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ p $ dan $ p + 3 $ adalah bilangan prima. Agar $ p $ dan $ p+3$ keduanya prima, maka nilai $ p = 2 $.
*). Titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ adalah titik potong fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ dengan sumbu X, artinya $ x_1 = -p-3 $ dan $ x_2 = p $ adalah akar-akar dari persamaan $ -x^2 + ax + b = 0 $.
*). Karena nilai $ p = 2 $, maka :
$ x_1 = -p-3 = -2 -3 = -5 $ dan $ x_2 = p = 2 $.
*). Operasi akar-akar pada PK $ \, -x^2 + ax + b = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ (-5) + 2 & = \frac{-a}{-1} \\ -3 & = a \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ (-5). 2 & = \frac{b}{-1} \\ -10 & = -b \\ 10 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
$\begin{align} f_{maks} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.(-1).10}{-4.(-1)} \\ & = \frac{9 + 40}{4} = \frac{49}{4} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{49}{4} . \, \heartsuit $
*). Diketahui $ p $ dan $ p + 3 $ adalah bilangan prima. Agar $ p $ dan $ p+3$ keduanya prima, maka nilai $ p = 2 $.
*). Titik $ (-p-3,0) $ dan titik $ (p,0) $ adalah titik potong fungsi $ f(x) = -x^2 + ax + b $ dengan sumbu X, artinya $ x_1 = -p-3 $ dan $ x_2 = p $ adalah akar-akar dari persamaan $ -x^2 + ax + b = 0 $.
*). Karena nilai $ p = 2 $, maka :
$ x_1 = -p-3 = -2 -3 = -5 $ dan $ x_2 = p = 2 $.
*). Operasi akar-akar pada PK $ \, -x^2 + ax + b = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ (-5) + 2 & = \frac{-a}{-1} \\ -3 & = a \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ (-5). 2 & = \frac{b}{-1} \\ -10 & = -b \\ 10 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -x^2 -3x + 10 $
$\begin{align} f_{maks} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-3)^2 - 4.(-1).10}{-4.(-1)} \\ & = \frac{9 + 40}{4} = \frac{49}{4} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{49}{4} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.