Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 13 = 0 $ dan
menyinggung garis $ 3x + 4y + 9 = 0 $ mempunyai persamaan ...
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0 \, $
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 12 = 0 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ memiliki pusat $ (a,b) $
dengan $ a = -\frac{1}{2}A $ dan $ b = -\frac{1}{2}B $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + r = 0 $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + r}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $
*). Sebuah lingkaran menyinggung garis memiliki jari-jari :
jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis singgungnya.
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ memiliki pusat $ (a,b) $
dengan $ a = -\frac{1}{2}A $ dan $ b = -\frac{1}{2}B $
*). Jarak titik $ (a,b) $ ke garis $ px + qy + r = 0 $ adalah
Jarak $ = \left| \frac{p.a + q.b + r}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| $
*). Sebuah lingkaran menyinggung garis memiliki jari-jari :
jari-jari = jarak titik pusat lingkaran ke garis singgungnya.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar dua lingkarannya :
*). Menentukan pusat lingkaran Besar
Lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 13 = 0 \rightarrow A = -6 $ dan $ B = 4 $
$ a = -\frac{1}{2}A = -\frac{1}{2}.(-6) = 3 $
$ b = -\frac{1}{2}B = -\frac{1}{2}.(4) = -2 $
sehingga titik pusatnya $ (a,b) = (-3,2) $
*). Lingkaran yang kita cari sepusat dengan lingkaran di atas, sehingga pusatnya juga sama yaitu $ (a,b) = (3,-2) $
*). Menentukan jari-jari lingkaran yaitu jarak titik pusat $ (3,-2) $ ke garis singgungnya yaitu garis $ 3x + 4y + 9 = 0 $ :
$ \begin{align} r & = \left| \frac{p.a + q.b + r}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ & = \left| \frac{3.3 + 4.(-2) + 9}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| \\ & = \left| \frac{9 - 8 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{10}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{10}{5} \right| = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan $ (a,b) = (3,-2) $ dan $ r = 2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-3)^2 + (y-(-2))^2 & = 2^2 \\ (x-3)^2 + (y+2)^2 & = 2^2 \\ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 & = 4 \\ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar dua lingkarannya :
*). Menentukan pusat lingkaran Besar
Lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 13 = 0 \rightarrow A = -6 $ dan $ B = 4 $
$ a = -\frac{1}{2}A = -\frac{1}{2}.(-6) = 3 $
$ b = -\frac{1}{2}B = -\frac{1}{2}.(4) = -2 $
sehingga titik pusatnya $ (a,b) = (-3,2) $
*). Lingkaran yang kita cari sepusat dengan lingkaran di atas, sehingga pusatnya juga sama yaitu $ (a,b) = (3,-2) $
*). Menentukan jari-jari lingkaran yaitu jarak titik pusat $ (3,-2) $ ke garis singgungnya yaitu garis $ 3x + 4y + 9 = 0 $ :
$ \begin{align} r & = \left| \frac{p.a + q.b + r}{\sqrt{p^2 + q^2}} \right| \\ & = \left| \frac{3.3 + 4.(-2) + 9}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| \\ & = \left| \frac{9 - 8 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{10}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{10}{5} \right| = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan $ (a,b) = (3,-2) $ dan $ r = 2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-3)^2 + (y-(-2))^2 & = 2^2 \\ (x-3)^2 + (y+2)^2 & = 2^2 \\ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 & = 4 \\ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.