Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x + y = \frac{\pi}{3} , \, x < 0 $ . Jika $ \tan x = \tan (\pi + y) $ ,
maka $ \sin ( x + 3y ) = ... $
A). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $
A). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan ( x + y ) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x. \tan y } $
$ \tan ( \pi + y ) = \tan y $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan ( x + y ) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x. \tan y } $
$ \tan ( \pi + y ) = \tan y $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ x + y = \frac{\pi}{3} \rightarrow x + y = 60^\circ $
$ \tan x = \tan ( \pi + y ) \rightarrow \tan x = \tan y $
*). Dari $ x + y = 60^\circ $ dan $ \tan x = \tan y $ , kita berikan tan kedua ruas :
$ \begin{align} x + y & = 60^\circ \\ \tan (x + y) & = \tan 60^\circ \\ \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x. \tan y } & = \sqrt{3} \\ \frac{\tan x + \tan x}{1 - \tan x. \tan x } & = \sqrt{3} \\ \frac{2\tan x }{1 - \tan ^2 x } & = \sqrt{3} \\ 2\tan x & = \sqrt{3} (1 - \tan ^2 x) \\ 2\tan x & = \sqrt{3} - \sqrt{3} \tan ^2 x \\ \sqrt{3} \tan ^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} & = 0 \\ (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) & = 0 \\ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \vee \tan x & = -\sqrt{3} \end{align} $
*). Karena $ x < 0 $ , mengakibatkan $ \tan x < 0 $ , sehingga $ \tan x = - \sqrt{3} $ yang memenuhi.
$ \tan x = - \sqrt{3} \rightarrow x = -60^\circ $
$ x + y = 60^\circ \rightarrow -60^\circ + y = 60^\circ \rightarrow y = 120^\circ $
*). Menentukan nilai $ \sin (x + 3y) $ :
$ \begin{align} \sin (x + 3y) & = \sin (-60^\circ + 3 \times 120^\circ) \\ & = \sin 300^\circ \\ & = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin (x + 3y) = -\frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $
*). Diketahui :
$ x + y = \frac{\pi}{3} \rightarrow x + y = 60^\circ $
$ \tan x = \tan ( \pi + y ) \rightarrow \tan x = \tan y $
*). Dari $ x + y = 60^\circ $ dan $ \tan x = \tan y $ , kita berikan tan kedua ruas :
$ \begin{align} x + y & = 60^\circ \\ \tan (x + y) & = \tan 60^\circ \\ \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x. \tan y } & = \sqrt{3} \\ \frac{\tan x + \tan x}{1 - \tan x. \tan x } & = \sqrt{3} \\ \frac{2\tan x }{1 - \tan ^2 x } & = \sqrt{3} \\ 2\tan x & = \sqrt{3} (1 - \tan ^2 x) \\ 2\tan x & = \sqrt{3} - \sqrt{3} \tan ^2 x \\ \sqrt{3} \tan ^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} & = 0 \\ (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) & = 0 \\ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \vee \tan x & = -\sqrt{3} \end{align} $
*). Karena $ x < 0 $ , mengakibatkan $ \tan x < 0 $ , sehingga $ \tan x = - \sqrt{3} $ yang memenuhi.
$ \tan x = - \sqrt{3} \rightarrow x = -60^\circ $
$ x + y = 60^\circ \rightarrow -60^\circ + y = 60^\circ \rightarrow y = 120^\circ $
*). Menentukan nilai $ \sin (x + 3y) $ :
$ \begin{align} \sin (x + 3y) & = \sin (-60^\circ + 3 \times 120^\circ) \\ & = \sin 300^\circ \\ & = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin (x + 3y) = -\frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $
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