Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = -x^2 + 2x $ dan garis singgung kurva
di titik $ (2,0) $ sama dengan ...
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ B). $ 1\frac{2}{3} \, $ C). $ 2\frac{1}{3} \, $ D). $ 2\frac{1}{2} \, $ E). $ 2\frac{2}{3} $
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ B). $ 1\frac{2}{3} \, $ C). $ 2\frac{1}{3} \, $ D). $ 2\frac{1}{2} \, $ E). $ 2\frac{2}{3} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan Garis Singgung Kurva (PGS) :
PGS kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ yaitu :
$ y - y_1 = m(x - x_1) $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Turunan : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Luasan menggunakan integral :
Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ dengan batas $ a \leq x \leq b $ adalah
Luas $ = \int \limits_a^b (f(x) - g(x)) dx $
dengan kurva $ f(x) $ di atas kurva $ g(x) $
*). Persamaan Garis Singgung Kurva (PGS) :
PGS kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1, y_1) $ yaitu :
$ y - y_1 = m(x - x_1) $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Turunan : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Luasan menggunakan integral :
Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ dengan batas $ a \leq x \leq b $ adalah
Luas $ = \int \limits_a^b (f(x) - g(x)) dx $
dengan kurva $ f(x) $ di atas kurva $ g(x) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan PGS kurva $ y = -x^2 + 2x $ di titik $ (x_1,y_1) = (2,0) $ :
-). Gradiennya : $ y^\prime = -2x + 2 $
$ m = f^\prime ( x_1 ) = f^\prime (2) = -2 \times 2 + 2 = -2 $
-). PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 0 & = -2(x- 2) \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
*). Ilustrasi daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = -x^2 + 2x $ dan $ y = -2x + 4 $ :
*). Daerah arsiran dibatasi oleh kurva $ y = -2x + 4 $ (kurva atas) dan $ y = -x^2 + 2x $ (kurva bawah) pada batas $ 0 \leq x \leq 2 $.
*). Menentukan luas daerah arsirannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^2 ( y_1 - y_2 ) dx \\ & = \int \limits_0^2 [(-2x+4) - (-x^2 + 2x)] dx \\ & = \int \limits_0^2 (x^2 - 4x + 4) dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_0^2 \\ & = [\frac{1}{3}.2^3 - 2.2^2 + 4.2] - [\frac{1}{3}.0^3 - 2.0^2 + 4.0] \\ & = [\frac{8}{3} - 8 + 8] - [0] \\ & = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\frac{2}{3} . \, \heartsuit $
*). Menentukan PGS kurva $ y = -x^2 + 2x $ di titik $ (x_1,y_1) = (2,0) $ :
-). Gradiennya : $ y^\prime = -2x + 2 $
$ m = f^\prime ( x_1 ) = f^\prime (2) = -2 \times 2 + 2 = -2 $
-). PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 0 & = -2(x- 2) \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
*). Ilustrasi daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = -x^2 + 2x $ dan $ y = -2x + 4 $ :
*). Daerah arsiran dibatasi oleh kurva $ y = -2x + 4 $ (kurva atas) dan $ y = -x^2 + 2x $ (kurva bawah) pada batas $ 0 \leq x \leq 2 $.
*). Menentukan luas daerah arsirannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^2 ( y_1 - y_2 ) dx \\ & = \int \limits_0^2 [(-2x+4) - (-x^2 + 2x)] dx \\ & = \int \limits_0^2 (x^2 - 4x + 4) dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_0^2 \\ & = [\frac{1}{3}.2^3 - 2.2^2 + 4.2] - [\frac{1}{3}.0^3 - 2.0^2 + 4.0] \\ & = [\frac{8}{3} - 8 + 8] - [0] \\ & = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\frac{2}{3} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.