Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = e^\sqrt{x} $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ kemudian ditranslasi
dengan vektor translasi $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] $.
Maka kurva yang dihasilkan adalah ...
A). $ y = \ln (x^2 - 1) \, $
B). $ y = \ln (x^2 + 1) \, $
C). $ y = -1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
D). $ y = 1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
E). $ y = 1 + \ln ^2 (x - 1) $
A). $ y = \ln (x^2 - 1) \, $
B). $ y = \ln (x^2 + 1) \, $
C). $ y = -1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
D). $ y = 1 + \ln ^2 (x + 1) \, $
E). $ y = 1 + \ln ^2 (x - 1) $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep Transformasi :
-). Titik $ (x,y) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ memiliki bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) $
-). Titik $ (x,y) $ ditranslasi oleh matriks $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ memiliki bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
-). Jika yang ditransformasikan berupa persamaan, maka titik awalnya adalah $ (x,y) $
*). Konsep len $ ( \ln ) $ :
(1). $ \ln e = 1 $
(2). $ \ln a^b = b. \ln a $
(3). $ (\ln a)^n = \ln ^n a $
*). Konsep Transformasi :
-). Titik $ (x,y) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ memiliki bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) $
-). Titik $ (x,y) $ ditranslasi oleh matriks $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ memiliki bayangan :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
-). Jika yang ditransformasikan berupa persamaan, maka titik awalnya adalah $ (x,y) $
*). Konsep len $ ( \ln ) $ :
(1). $ \ln e = 1 $
(2). $ \ln a^b = b. \ln a $
(3). $ (\ln a)^n = \ln ^n a $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui kurva awal : $ y = e^\sqrt{x} $
-). Pertama : dicerminkan terhadap garis $ y = x $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) $
-). Kedua : ditranslasi dengan vektor translasi $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} y - 1 \\ x + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). Kita peroleh :
$ x^{\prime \prime } = y - 1 \rightarrow y = x^{\prime \prime } + 1 $
$ y^{\prime \prime } = x + 1 \rightarrow x = y^{\prime \prime } - 1 $
*). Menentukan bayangan persamaannya :
-). Persamaan awal : $ y = e^\sqrt{x} $
-). Bayangannya : substitusi $ x = y^{\prime \prime } - 1 $ dan $ y = x^{\prime \prime } + 1 $ ke persamaan awal :
$ \begin{align} y & = e^\sqrt{x} \\ x^{\prime \prime } + 1 & = e^\sqrt{y^{\prime \prime } - 1} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(hilangkan aksennya)} \\ x + 1 & = e^\sqrt{y - 1} \\ \ln ( x + 1 ) & = \ln \left( e^\sqrt{y - 1} \right) \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} \ln \left( e \right) \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} . 1 \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} \\ [ \ln ( x + 1 ) ]^2 & = y - 1 \\ \ln ^2 ( x + 1 ) & = y - 1 \\ \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 & = y \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya : $ y = \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 $
Jadi, bayangannya : $ y = \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 . \, \heartsuit $
*). Diketahui kurva awal : $ y = e^\sqrt{x} $
-). Pertama : dicerminkan terhadap garis $ y = x $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) $
-). Kedua : ditranslasi dengan vektor translasi $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right] $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} y - 1 \\ x + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). Kita peroleh :
$ x^{\prime \prime } = y - 1 \rightarrow y = x^{\prime \prime } + 1 $
$ y^{\prime \prime } = x + 1 \rightarrow x = y^{\prime \prime } - 1 $
*). Menentukan bayangan persamaannya :
-). Persamaan awal : $ y = e^\sqrt{x} $
-). Bayangannya : substitusi $ x = y^{\prime \prime } - 1 $ dan $ y = x^{\prime \prime } + 1 $ ke persamaan awal :
$ \begin{align} y & = e^\sqrt{x} \\ x^{\prime \prime } + 1 & = e^\sqrt{y^{\prime \prime } - 1} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(hilangkan aksennya)} \\ x + 1 & = e^\sqrt{y - 1} \\ \ln ( x + 1 ) & = \ln \left( e^\sqrt{y - 1} \right) \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} \ln \left( e \right) \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} . 1 \\ \ln ( x + 1 ) & = \sqrt{y - 1} \\ [ \ln ( x + 1 ) ]^2 & = y - 1 \\ \ln ^2 ( x + 1 ) & = y - 1 \\ \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 & = y \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya : $ y = \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 $
Jadi, bayangannya : $ y = \ln ^2 ( x + 1 ) + 1 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.