Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu kurva melalui titik $ \left( -1, -\frac{1}{3} \right)$. Jika kemiringannya
pada setiap titik $ x $ adalah kebalikan negatif dari kemiringan kurva dengan persamaan
$ xy = 2 $ , maka persamaan kurva tersebut adalah ...
A). $ 6y - x^3 + 1 = 0 \, $
B). $ 12y - 3x^3 + 1 = 0 \, $
C). $ 3y - x^3 = 0 \, $
D). $ 6y - 3x^3 = 0 \, $
E). $ 15y - 3x^3 + 2 = 0 \, $
A). $ 6y - x^3 + 1 = 0 \, $
B). $ 12y - 3x^3 + 1 = 0 \, $
C). $ 3y - x^3 = 0 \, $
D). $ 6y - 3x^3 = 0 \, $
E). $ 15y - 3x^3 + 2 = 0 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Konsep turunan aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Penggunaan turunan pada gradien :
gradien/kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ adalah $ m = f^\prime (x) $ atau $ m = y^\prime $
*). Untuk menentukan persamaan kurva awal dari bentuk turunannya, bisa menggunakan integral :
$ f(x) = \int f^\prime (x) dx $
*). Rumus integral aljabar :
$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Konsep turunan aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Penggunaan turunan pada gradien :
gradien/kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ adalah $ m = f^\prime (x) $ atau $ m = y^\prime $
*). Untuk menentukan persamaan kurva awal dari bentuk turunannya, bisa menggunakan integral :
$ f(x) = \int f^\prime (x) dx $
*). Rumus integral aljabar :
$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). kemiringan kurva dengan persamaan $ xy = 2 $ :
$ \begin{align} xy & = 2 \\ y & = \frac{2}{x} \\ y & = 2x^{-1} \\ y^\prime & = -2x^{-2} \\ m_1 & = \frac{-2}{x^2} \end{align} $
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki kemiringan pada setiap titik $ x $ adalah kebalikan negatif dari $ m_1 $ :
$ \begin{align} m & = \frac{1}{-m_1} \\ m & = \frac{1}{- ( \frac{-2}{x^2} )} \\ m & = \frac{x^2}{2} \\ y^\prime & = \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2 \end{align} $
*). Menentukan kurva $ y = f(x) $ dengan integral :
$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int \, \frac{1}{2}x^2 \, dx \\ y & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2+1}x^{2+1} + c \\ y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ \end{align} $
*). Substitusi titik $ \left( -1, -\frac{1}{3} \right)$ ke kurva untuk menentukan nilai $ c $ :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ -\frac{1}{3} & = \frac{1}{6}.(-1)^3 + c \\ -\frac{1}{3} & = -\frac{1}{6} + c \\ -\frac{1}{3} + \frac{1}{6} & = c \\ -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} & = c \\ - \frac{1}{6} & = c \end{align} $
Sehingga persamaan kurvanya menjadi :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ y & = \frac{1}{6}x^3 + (-\frac{1}{6}) \\ y & = \frac{1}{6}x^3 -\frac{1}{6} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 6y & = x^3 -1 \\ 6y - x^3 + 1 & = 0 \end{align} $
Jadi, kurvanya adalah $ 6y - x^3 + 1 = 0 . \, \heartsuit $
*). kemiringan kurva dengan persamaan $ xy = 2 $ :
$ \begin{align} xy & = 2 \\ y & = \frac{2}{x} \\ y & = 2x^{-1} \\ y^\prime & = -2x^{-2} \\ m_1 & = \frac{-2}{x^2} \end{align} $
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki kemiringan pada setiap titik $ x $ adalah kebalikan negatif dari $ m_1 $ :
$ \begin{align} m & = \frac{1}{-m_1} \\ m & = \frac{1}{- ( \frac{-2}{x^2} )} \\ m & = \frac{x^2}{2} \\ y^\prime & = \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2 \end{align} $
*). Menentukan kurva $ y = f(x) $ dengan integral :
$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int \, \frac{1}{2}x^2 \, dx \\ y & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2+1}x^{2+1} + c \\ y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ \end{align} $
*). Substitusi titik $ \left( -1, -\frac{1}{3} \right)$ ke kurva untuk menentukan nilai $ c $ :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ -\frac{1}{3} & = \frac{1}{6}.(-1)^3 + c \\ -\frac{1}{3} & = -\frac{1}{6} + c \\ -\frac{1}{3} + \frac{1}{6} & = c \\ -\frac{2}{6} + \frac{1}{6} & = c \\ - \frac{1}{6} & = c \end{align} $
Sehingga persamaan kurvanya menjadi :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{6}x^3 + c \\ y & = \frac{1}{6}x^3 + (-\frac{1}{6}) \\ y & = \frac{1}{6}x^3 -\frac{1}{6} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 6y & = x^3 -1 \\ 6y - x^3 + 1 & = 0 \end{align} $
Jadi, kurvanya adalah $ 6y - x^3 + 1 = 0 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.