Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x
\end{matrix} \right) $ tidak mempunyai invers dan $ x^2 + y^2 = 32 $, maka nilai
$ {}^x \log y = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A : $ det(A) = ad - bc $
-). Syarat Matriks A tidak punya invers yaitu $ det(A) = 0 $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b = {}^{a^n} \log b^n $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen : $ (a^n)^m = a^{n.m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x) } = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A : $ det(A) = ad - bc $
-). Syarat Matriks A tidak punya invers yaitu $ det(A) = 0 $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b = {}^{a^n} \log b^n $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen : $ (a^n)^m = a^{n.m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x) } = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x \end{matrix} \right) $ , maka $ det = 0 $ :
$\begin{align} \text{determinan } & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - 1. {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x & = {}^2 \log 4^y \\ {}^4 \log (2^x )^x & = {}^{2^2} \log (4^y)^2 \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 4^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log (2^2)^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan log)} \\ 2^{x^2} & = 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan eksponen)} \\ x^2 & = 4y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
pada soal diketahui : $ x^2 + y^2 = 32 \, \, \, $ ....pers(ii)
*). Untuk menentukan nilai $ {}^x \log y $ , maka haruslah $ x > 0 $ dan $ y > 0 $.
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} x^2 + y^2 & = 32 \\ 4y + y^2 & = 32 \\ y^2 + 4y - 32 & = 0 \\ (y+8)(y-4) & = 0 \\ y = -8 \vee y & = 4 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 4 $.
sehingga $ x^2 = 4y \rightarrow x^2 = 4.4 \rightarrow x^2 = 16 \rightarrow x = \pm 4 $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = 4 $
*). Menentukan Nilai $ {}^x \log y $ :
$\begin{align} {}^x \log y & = {}^4 \log 4 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = 1 . \, \heartsuit $
*). Matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x \end{matrix} \right) $ , maka $ det = 0 $ :
$\begin{align} \text{determinan } & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - 1. {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x & = {}^2 \log 4^y \\ {}^4 \log (2^x )^x & = {}^{2^2} \log (4^y)^2 \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 4^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log (2^2)^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan log)} \\ 2^{x^2} & = 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan eksponen)} \\ x^2 & = 4y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
pada soal diketahui : $ x^2 + y^2 = 32 \, \, \, $ ....pers(ii)
*). Untuk menentukan nilai $ {}^x \log y $ , maka haruslah $ x > 0 $ dan $ y > 0 $.
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} x^2 + y^2 & = 32 \\ 4y + y^2 & = 32 \\ y^2 + 4y - 32 & = 0 \\ (y+8)(y-4) & = 0 \\ y = -8 \vee y & = 4 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 4 $.
sehingga $ x^2 = 4y \rightarrow x^2 = 4.4 \rightarrow x^2 = 16 \rightarrow x = \pm 4 $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = 4 $
*). Menentukan Nilai $ {}^x \log y $ :
$\begin{align} {}^x \log y & = {}^4 \log 4 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = 1 . \, \heartsuit $
Kak soal yang di KoMa ini selalu diperbarui ya??
BalasHapus