Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan kuadrat $ 3x^2 + 8x - c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = -\frac{1}{x_2} $ . Jika $ x_1 > x_2 $ , maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1+1} $ dan $ \frac{1}{x_2 - 2} $ adalah ...
A). $ 10x^2 - 11x - 3 = 0 \, $
B). $ 10x^2 + 11x + 3 = 0 \, $
C). $ 20x^2 - 11x - 3 = 0 \, $
D). $ 20x^2 + 11x + 3 = 0 \, $
E). $ 20x^2 - 11x + 3 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan Kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Menyusun persamaan kuadrat :
$ \, \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ 3x^2 + 8x - c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = -\frac{1}{x_2} $ dengan $ x_1 > x_2 $ :
*). Menentukan nilai $ c $ :
$\begin{align} x_1 & = -\frac{1}{x_2} \\ x_1.x_2 & = -1 \\ \frac{c}{a} & = -1 \\ \frac{-c}{3} & = -1 \\ c & = 3 \end{align} $
Sehingga PK nya menjadi : $ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $
*). Menentukan akar-akar dari $ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $ :
$\begin{align} 3x^2 + 8x - 3 & = 0 \\ (3x-1)(x+3) & = 0 \\ x_1 = \frac{1}{3} \vee x_2 & = -3 \end{align} $
*). Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1+1} $ dan $ \frac{1}{x_2 - 2} $ :
$ \frac{1}{x_1+1} = \frac{1}{\frac{1}{3}+1} = \frac{3}{4} $
$ \frac{1}{x_2 - 2} = \frac{1}{-3 - 2} = -\frac{1}{5} $
*). Menyusun PK dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1+1} $ dan $ \frac{1}{x_2 - 2} $ atau $ \frac{3}{4} $ dan $ -\frac{1}{5} $ :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - \left( \frac{3}{4} + (-\frac{1}{5}) \right) x + \left( \frac{3}{4}.(-\frac{1}{5}) \right) & = 0 \\ x^2 - \left( \frac{15-4}{20} \right) x + \left( - \frac{3}{20} \right) & = 0 \, \, \, \, \, \, (\times 20) \\ 20x^2 - 11 x - 3 & = 0 \end{align} $
Jadi, PK nya adalah $ 20x^2 - 11 x - 3 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar