Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui segitiga ABC dengan $ |BC|= 2\sqrt{3} $ dan $ \angle BAC = 60^\circ $. Jika $ |AC| + |AB| = 6 $ , maka $ \left| |AC| - |AB| \right| = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Misalkan panjang $ |AB| = x \, $ dan $ |AC| = y $
$ |AC| + |AB| = 6 \rightarrow x + y = 6 $
*). Kuadratkan persamaan $ x + y = 6 $ :
$\begin{align} x + y & = 6 \\ (x + y)^2 & = 6^2 \\ x^2 + 2xy + y^2 & = 36 \\ x^2 + y^2 & = 36 - 2xy \end{align} $
*). Aturan kosinus pada sudut BAC dan $ x^2 + y^2 = 36 - 2xy $
$\begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 - 2.AB.AC . \cos \angle BAC \\ (2\sqrt{3})^2 & = x^2 + y^2 - 2.x.y . \cos 60^\circ \\ 12 & = x^2 + y^2 - 2. xy . \frac{1}{2} \\ 12 & = x^2 + y^2 - xy \\ 12 & = (36 - 2xy) - xy \\ 12 & = 36 - 3xy \\ xy & = 8 \end{align} $
sehingga $ x^2 + y^2 = 36 - 2xy = 36 - 2.8 = 36 - 16 = 20 $
*). Dari nilai $ x^2 + y^2 = 20 $ dan $ xy = 8 $
$\begin{align} \left| |AC|-|AB| \right| ^2 & = (y-x)^2 \\ & = x^2 + y^2 - 2xy \\ & = 20 - 2.8 \\ \left| |AC|-|AB| \right| ^2 & = 4 \\ \left| |AC|-|AB| \right| & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left| |AC|-|AB| \right| = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar