Pembahasan Vektor UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui proyeksi vektor $ \vec{v} $ pada vektor $ \vec{u} $ sama dengan proyeksi vektor $ \vec{w} $ pada vektor $ \vec{u} $ . Jika $ 2\vec{v}.\vec{u}= \sqrt{3}|\vec{v}||\vec{u}| $ dan $ 2\vec{w}.\vec{u}= |\vec{w}||\vec{u}| $, maka $ \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} = ... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2}\sqrt{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian dot vektor.
Misalkan ada vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dimana kedua vektor membentuk sudut sebesar $ \theta $, maka berlaku :
$ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta $ atau $ \cos \theta = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan besar sudut yang terbentuk :
$ \angle ( \vec{v}, \vec{u} ) = x $ , $ \angle ( \vec{w}, \vec{u} ) = y $ , dan $ \angle ( \vec{v}, \vec{w} ) = z $
*). Menentukan besarnya $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} 2\vec{v}.\vec{u} = \sqrt{3}|\vec{v}||\vec{u}| \rightarrow \frac{\vec{v}.\vec{u}}{|\vec{v}||\vec{u}|} & = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \cos x & = \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ x & = 30^\circ \\ 2\vec{w}.\vec{u} = |\vec{w}||\vec{u}| \rightarrow \frac{\vec{w}.\vec{u}}{|\vec{w}||\vec{u}|} & = \frac{1}{2} \\ \cos y & = \frac{1}{2} \\ y & = 60^\circ \end{align} $
*). Karena proyeksi $ \vec{v} $ pada $ \vec{u} $ sama dengan proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{u} $ (hasil proyeksinya adalah vektor $ \vec{c} $) , dan besar sudut $ x = 30^\circ $ , $ y = 60^\circ $ , maka gambar ketiga vektor yang mungkin adalah :
 

*). Dari gambar kita peroleh :
$ z + x = y \rightarrow z = y - x = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ $
Artinya besar sudut antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{w} $ adalah $ 30^\circ $.
*). Menentukan nilai yang diminta :
$\begin{align} \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} & = \cos z = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\vec{v}.\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar