Pembahasan Transformasi UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 576

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ P_1 $ adalah pencerminan titik $ P(2,k) $ terhadap garis $ x = y $ . Jika luas segitiga $ POP_1 $ adalah 6, maka $ |k|=... $
A). $ 2\sqrt{2} \, $ B). $ 2\sqrt{3} \, $ C). $ \sqrt{10} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bayangan titik $ A(x,y) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ adalah $ A^\prime (y,x) $
(titiknya dibalik saja).
*). Luas bangun datar :
Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi
Luas persegi panjang = panjang $ \times $ lebar.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik $ P(2,k) $ dicerminkan terhadap garis $ y = x $ menghasilkan banyangan $ P_1(k,2) $. Sehingga ketiga titik sudut segitiganya adalah $ O(0,0) $ , $ P(2,k) $ , dan $ P_1(k,2) $. Berikut ilustrasi gambar segitiganya.
 

*). Perhatikan gambar di atas :
-). Persegi panjang OABC, $ OA = k $ dan $ OC = k $
Luas OABC $ = p \times l = k.k = k^2 $
-). Segitiga $ OAP_1 $, $ OA = k $ dan $ AP_1 = 2 $
Luas $ OAP_1 = \frac{1}{2}.OA.AP_1 = \frac{1}{2}.k.2 = k $
-). Segitiga $ OCP $ , $ OC = k $ dan $ CP = 2 $
Luas $ OCP = \frac{1}{2}.OC.CP = \frac{1}{2}.k.2 = k $
-). Segitiga $ PBP_1 $ , $ PB = k-2 $ dan $ BP_1 = k-2 $
Luas $ PBP_1 = \frac{1}{2}.PB.BP_1 = \frac{1}{2}.(k-2).(k-2) = \frac{1}{2}(k^2 - 4k + 4) $
*). Menentukan nilai $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } POP_1 & = 6 \\ L_{OABC} - (L_{OAP_1} + L_{OCP} + L_{PBP_1}) & = 6 \\ L_{OABC} - L_{OAP_1} - L_{OCP} - L_{PBP_1} & = 6 \\ k^2 - k - k - \frac{1}{2}(k^2 - 4k + 4) & = 6 \\ k^2 - 2k - \frac{1}{2}(k^2 - 4k + 4) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2k^2 - 4k - (k^2 - 4k + 4) & = 12 \\ k^2 - 4 & = 12 \\ k^2 & = 16 \\ k & = \pm 4 \\ |k| & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ |k| = 4 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar