Teorema
"Setiap Akar dari Bilangan Prima adalah Bilangan Irasional"
$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa diubah menjadi bentuk pecahan $ \frac{m}{n} $ dengan $ m , n $ bilangan bulat dan $ m, n $ saling prima.
*). Dua bilangan dikatakan saling prima jika pembagi terbesar keduanya adalah 1.
*). Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi 1 dan bilangan itu sendiri, atau bilangan yang hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri.
*). Contoh Bilangan prima yaitu : $ 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... $
*). Pembuktian dengan "Metode KONTRADIKSI".
*). Kontradiksi adalah salah satu cara pembuktian matematis secara tidak langsung, yaitu dengan cara kita asumsikan suatu kesimpulan dahulu, dan bila menemui hasil yang janggal (kontradiktif) maka asumsi tersebut dapat dinyatakan salah, serta secara otomatis ingkarannya benar.
*). Jika $ a $ habis membagi $ b $, maka terdapat bilangan $ x $ yang memenuhi $ b = ax $.
*). Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa diubah menjadi bentuk pecahan $ \frac{m}{n} $ dengan $ m , n $ bilangan bulat dan $ m, n $ saling prima.
*). Dua bilangan dikatakan saling prima jika pembagi terbesar keduanya adalah 1.
*). Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi 1 dan bilangan itu sendiri, atau bilangan yang hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri.
*). Contoh Bilangan prima yaitu : $ 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... $
*). Pembuktian dengan "Metode KONTRADIKSI".
*). Kontradiksi adalah salah satu cara pembuktian matematis secara tidak langsung, yaitu dengan cara kita asumsikan suatu kesimpulan dahulu, dan bila menemui hasil yang janggal (kontradiktif) maka asumsi tersebut dapat dinyatakan salah, serta secara otomatis ingkarannya benar.
*). Jika $ a $ habis membagi $ b $, maka terdapat bilangan $ x $ yang memenuhi $ b = ax $.
$\clubsuit $ Pembuktian
*). Setiap akar dari bilangan prima adalah bilangan irasional.
Pembuktiannya :
-). Misalkan terdapat bilangan prima $ p $. Kita akan membuktikan dengan KONTRADIKSI yaitu misalkan "setiap akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional".
-). Karena $ \sqrt{p} $ itu adalah bilangan rasional, maka dapat kita ubah menjadi $ \frac{m}{n} $ , $ m,n \in Z, \, n \neq 0 $ dengan $ m $ dan $ n $ relatif prima atau $ FPB (m,n) = 1 $.
$ \begin{align} \sqrt{p} & = \frac{m}{n} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ p & = \frac{m^2}{n^2} \\ pn^2 & = m^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ n^2 & = \frac{m^2}{p} \\ n^2 & = m(\frac{m}{p} ) \end{align} $
-). Karena $ n^2 $ bilangan bulat, maka $ \frac{m}{p} $ juga harus bulat, artinya $ p $ membagi $ m $ sehingga terdapat bilangan $ x $ yang memenuhi $ m = px $.
-). Substitusikan $ m = px $ ke pers(i) :
$ \begin{align} pn^2 & = m^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ pn^2 & = (px) ^2 \\ pn^2 & = p^2x^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{bagi } p ) \\ n^2 & = px^2 \\ \frac{n^2}{p} & = x^2 \\ n ( \frac{n }{p} ) & = x^2 \\ \end{align} $
-). Karena $ x^2 $ bilangan bulat, maka $ \frac{n}{p} $ juga harus bulat, artinya $ p $ membagi $ n $. Artinya $ p $ bisa membagi $ m $ dan $ n $.
-). Perhatikan syarat di atas yaitu $ m $ dan $ n $ seharusnya saling prima, namun kita peroleh $ m $ dan $ n $ bisa dibagi oleh $ p $ sehingga terjadi kontradiksi (berlawanan).
Jadi, Kesimpulannya adalah Setiap Akar dari bilangan prima adalah bilangan Irasional $ . \, \heartsuit $
*). Setiap akar dari bilangan prima adalah bilangan irasional.
Pembuktiannya :
-). Misalkan terdapat bilangan prima $ p $. Kita akan membuktikan dengan KONTRADIKSI yaitu misalkan "setiap akar dari bilangan prima adalah bilangan rasional".
-). Karena $ \sqrt{p} $ itu adalah bilangan rasional, maka dapat kita ubah menjadi $ \frac{m}{n} $ , $ m,n \in Z, \, n \neq 0 $ dengan $ m $ dan $ n $ relatif prima atau $ FPB (m,n) = 1 $.
$ \begin{align} \sqrt{p} & = \frac{m}{n} \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ p & = \frac{m^2}{n^2} \\ pn^2 & = m^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ n^2 & = \frac{m^2}{p} \\ n^2 & = m(\frac{m}{p} ) \end{align} $
-). Karena $ n^2 $ bilangan bulat, maka $ \frac{m}{p} $ juga harus bulat, artinya $ p $ membagi $ m $ sehingga terdapat bilangan $ x $ yang memenuhi $ m = px $.
-). Substitusikan $ m = px $ ke pers(i) :
$ \begin{align} pn^2 & = m^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ pn^2 & = (px) ^2 \\ pn^2 & = p^2x^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{bagi } p ) \\ n^2 & = px^2 \\ \frac{n^2}{p} & = x^2 \\ n ( \frac{n }{p} ) & = x^2 \\ \end{align} $
-). Karena $ x^2 $ bilangan bulat, maka $ \frac{n}{p} $ juga harus bulat, artinya $ p $ membagi $ n $. Artinya $ p $ bisa membagi $ m $ dan $ n $.
-). Perhatikan syarat di atas yaitu $ m $ dan $ n $ seharusnya saling prima, namun kita peroleh $ m $ dan $ n $ bisa dibagi oleh $ p $ sehingga terjadi kontradiksi (berlawanan).
Jadi, Kesimpulannya adalah Setiap Akar dari bilangan prima adalah bilangan Irasional $ . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.